Norme (mathématiques)

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Vous avez de nouveaux messages (diff^?).

Cet article ou section d'article manque de sources.
Vous pouvez contribuer à l'améliorer en ajoutant des références confirmant les différents points évoqués.

En mathématiques, une norme est une fonction qui donne un sens à l'idée usuelle de longueur d'un vecteur, a priori sans recourir à un produit scalaire. Il y a plusieurs façons de définir de telles normes sur un espace vectoriel, et le choix d'une norme adaptée à un problème d'analyse est une étape importante dans sa résolution.

Sommaire

1 Définitions
2 Exemples
- 2.1 Espaces normés de dimension finie
- 2.2 Espaces normés de dimension infinie
3 Topologie induite
- 3.1 Continuité de la norme
- 3.2 Voir aussi

[modifier] Définitions

[modifier] Norme d'espace vectoriel

Soit $\ (\mathbb K , \times, +)$ un sous-corps de $\mathbb C$ , ou plus généralement, un corps valué, et $\ (E,+_E,0_E)$ un espace vectoriel sur $\mathbb K$ . On appelle norme sur $E$ une application $\mathcal N \in\mathbb{R_+} ^E$ telle que:

Séparation: $\mathcal N(x)=0 \Rightarrow x=0_E \ \ (S)$
Homogénéité: $\forall (\lambda,x)\in \mathbb K \times E:\mathcal N (\lambda \cdot x) = |\lambda| \mathcal N (x)\ \ (H)$
Inégalité triangulaire: $\forall (x,y) \in E^2 :\mathcal N (x+_E \ y) \leq \mathcal N (x) +\mathcal N (y)\ .\ (I)$ .

Habituellement, l'image d'un vecteur $\ x$ par une norme se note $\ \|x\|$ .
Remarquons que:

$(S),(H) \Leftrightarrow \forall (\lambda,x,y) \in \mathbb K \times E^2 : \|(\lambda \cdot x +_E y)\| \leq |\lambda|.\|x\| + \|y\|$ (sous-linéarité);
$\ (H)$ permet la réciproque de $\ (S)$ .
$\ (H)$ rend la norme symétrique: $\|x-y \| = \|y-x \|$

$E$ est alors appelé espace vectoriel normé (parfois abrégé en evn). Le fait qu'une norme soit à valeurs dans $\mathbb R_+$ est une conséquence des autres axiomes.

Remarque : certaines normes appelées ultramétriques vérifient une condition plus forte que l'inégalité triangulaire. Voir l'article sur la norme ultramétrique.

[modifier] Norme d'algèbre

Supposons $\ (A,+_A,\times_A)$ une $\mathbb K$ -algèbre et $\mathcal N$ une norme sur $\ (A,+_A,0_A)$ . Si:

$\forall (x,y) \in A^2: \mathcal N(x \times_A y) \leq \mathcal N(x)\mathcal N(y)$ (sous-multiplicativité)

alors $\mathcal N$ est une norme d'algèbre. Si l'algèbre est unitaire, on peut compléter la structure par :

$\mathcal N(1_A)=1$

Exemple : sur l'algèbre $\ \mathbb K$ on définit une norme d'algèbre en considérant l'application « module » $\ | \ |$ (ou « valeur absolue »).

[modifier] Relations fondamentales

L'inégalité triangulaire entraîne (par récurrence immédiate)

$\mathcal N(\lambda_1\cdot x_1 + ... + \lambda_n\cdot x_n) \leq | \lambda_1|\mathcal N(x_1)+ ...+ |\lambda_n|\mathcal N(x_n) \ \$

et se "renverse" sous la forme
$| \mathcal N(x)- N(y)| \leq \mathcal N(x-y)$
En effet:
$\mathcal N(x)=\mathcal N(x-y+y) \leq \mathcal N(x-y)+ \mathcal N(y)$ d'où:
$\mathcal N(x)- \mathcal N(y) \leq \mathcal N(x-y)$ .De même:
$\mathcal N(y)- \mathcal N(x) \leq \mathcal N(y-x) \ =\mathcal N(x-y)$ , enfin:
$max(\mathcal N(x)- \mathcal N(y),\mathcal N(y)- \mathcal N(x) )\leq \mathcal N(x-y)$

[modifier] Norme et produit scalaire

Tout produit scalaire sur $\ E$ y engendre une norme $\ \mathcal N_{<,>}:\ E\to\mathbb R_+, \ x \to\ <x,x>^{1/2}$

[modifier] Exemples

[modifier] Espaces normés de dimension finie

[modifier] Normes canoniques sur $\mathbb K^n$

L'ensemble des vecteurs de norme 1 dans R2 pour différentes normes

L'espace $\mathbb K^n$ possède plusieurs normes remarquables pour lesquelles existent des notations traditionnelles.

Norme-infini:
Soit $\ x=(x_1,...,x_n)\in\mathbb K^n: \|x\|_\infty = \max_{i\in[1,...,n]}|x_i|$

Norme-1:
Soit $\ (x_1,...,x_n)\in\mathbb C^n: \|x\|_1=\sum_{i=1}^n |x_i|$
D'où:

$\forall (a,b)\in\mathbb R^2:\|(a,b)\|_1=|a|+|b|$ . Dans Manhattan, elle est la norme ! ( voir distance (mathématiques))

Norme-2:
Soit $\ (x_1,...,x_n)\in\mathbb K^n: \|x\|_2= \left (\sum_{i=1}^n |x_i|^2 \right )^{1/2}$

Dans $\mathbb R^n$ , elle est la norme eudienne,ou canonique.C'est la norme associée au produit scalaire de même noms. $\forall (a,b)\in\mathbb R^2:\|(a,b)\|_2=\left(a^2+b^2 \right)^{1/2}$

Norme-p:

Soit $\ \mathbb K^n$ , muni d'une quelconque des normes-p
$\|(x_1, x_2, \ldots, x_n)\|_p = \left ( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right )^{1/p}$ avec $p \geq 1$
C'est un espace vectoriel normé.
la notation $\| \|_{\infty}$ est due au fait que
$\lim_{p\to+\infty} \|x\|_p =\|x\|_{\infty}$
L'inégalité triangulaire pour ces normes s'appelle l'inégalité de Minkowski, elle est une conséquence de résultats de convexité parmi lesquels l'inégalité de Hölder.
Ceci correspond à la norme habituellement utilisée pour la distance entre deux points dans le plan ou l'espace géométrique.

[modifier] Autres espaces de dimension finie

Tout $\ \mathbb K$ -espace vectoriel $\ E$ de dimension finie n possède une norme.

En effet,E est isomorphe à $\ \mathbb K^n$ . Soit $\ u$ un isomorphisme de $\ E$ vers $\ \mathbb K^n$ et $\mathcal N$ une norme de ce dernier. Alors $N\cdot u$ est une norme de $\ E$ :
u est linéaire, $\ N$ est sous-linéaire donc $N\cdot u$ est sous-linéaire.De plus:
$N\cdot u(x)=0_{\mathbb R} \Rightarrow u(x)=0_{\mathbb K} \Rightarrow x=0_E$ car u est injectif.
Concrètement, on choisit en général une base de E et on utilise des normes de type norme 1,2,infini, ou p vis-à-vis des coordonnées dans cette base.

[modifier] Cercles carrés

Bertrand Russell aimait à donner comme exemple d'oxymore l'expression « cercle carré ». S'il s'agit bien d'un oxymore en géométrie euclidienne, les cercles carrés existent bel et bien lorsqu'on adopte par exemple la norme "infinie". L'ensemble des points de norme 1 est un carré incliné à 45° et est un cercle dans la mesure où tous leurs points sont à égale distance de l'origine.

[modifier] Espaces normés de dimension infinie

L'ensemble $\ell^p$ des suites complexes $a=(a_n)_{n\in\mathbb N}$ telles que $\ \sum a_n$ converge au sens de la norme-p:

$\|a\|_p = \left ( \sum_{n=0}^{+\infty} |a_n|^p \right )^{1/p} < +\infty$

$\ell^{\infty}$ est l'ensemble des suites complexes bornées:

$\ \|\|_\infty:\ell^\infty\to \mathbb R_+ , a \to \sup_{n \in\mathbb N} |a_n|$ en est la norme naturelle.

Le $\mathbb C$ -espace vectoriel $\ \mathcal C(\mathcal I,\mathbb C)$ des fonctions continues d'un compact $\mathcal I$ de $\mathbb R$ dans $\mathbb C$ est muni de la norme-p:

$\ \|f\|_p = \left ( \int_I |f|^p \right )^{1/p}$

et de la norme-infini :
$\|f\|_\infty=\sup_I |f|$
que l'on retrouve avec:
$\ \lim_{p} \left ( \int_I |f|^p \right )^{1/p} =\sup_I |f|$
On l'appelle également norme de la convergence uniforme.

L'algèbre $\mathcal {M}_{n\times p}(\mathbb C)$ est normée par $\| \ \|_\infty$ où:

$\forall A=(a_{i,j}) \in \mathcal {M}_{n\times p} (\mathbb C):\ \| A \|_\infty = \max_{i,j}|a_{i,j}|$

L'algèbre $\mathbb K[X]$ des polynômes sur $\mathbb K$ peut être normée de la façon suivante:

Soit $\ \mathcal A$ non vide et borné dans $\mathbb K$ .
$\forall P \in\mathbb K[X]:\ \sup|P(\mathcal A)|=\| P \|_\infty^{\mathcal A}$
construit alors $\mathcal N_\infty^{\mathcal A}$ une norme d'algèbre sur $\mathbb K[X]$ .

[modifier] Topologie induite

Un espace vectoriel normé $(E,\| \|)$ peut être muni d'une distance $d_E (x,y) = \|x-y\|$ qui fait de lui un espace métrique. Sa structure topologique est donc celle d'espace métrique.

On appelle espace de Banach un espace vectoriel normé complet.
Une algèbre normée complète est dite algèbre de Banach.

[modifier] Continuité de la norme

En notant $\ d$ la distance canonique de $\ \mathbb R$ : $\ d(x,y)=|x-y|.$ .
$\ \|\|$ est 1-lipschitzienne:
$\ d(\|x\|,\|y\|)= | \|x\|-\|y\| | \leq \|x-y\| = 1.d_E (x,y)$
Comme $\ \|\|$ est lipschitzienne, elle est continue.