Plan (mathématiques)

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Un plan dans un espace euclidien à trois dimensions

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En mathématiques, un plan est un objet fondamental à deux dimensions. Intuitivement il peut être visualisé comme une feuille d'épaisseur nulle qui s'étend à l'infini. L'essentiel du travail fondamental en géométrie et en trigonométrie s'effectue en deux dimensions donc dans un plan.

Sommaire

1 Définitions
2 Positions relatives de deux plans
3 Positions relatives d'un plan et d'une droite
4 Équations dans un espace de dimension trois
- 4.1 Définition par deux vecteurs et un point
  - 4.1.1 Combinaison linéaire
  - 4.1.2 Coplanarité
- 4.2 Définition par un vecteur normal et un point
  - 4.2.1 Orthogonalité
5 Voir aussi
- 5.1 Liens externes

[modifier] Définitions

Il existe de nombreuses manières de définir un plan, notamment :

Trois points distincts et non alignés;
Une droite et un point n'appartenant pas à cette droite;
Deux droites non confondues et sécantes;
Deux droites non confondues et parallèles;
Un point et un vecteur normal;
Un point et deux vecteurs non colinéaires.

Par la suite, nous utiliserons les deux dernières définitions pour l'élaboration des équations du plan.

[modifier] Positions relatives de deux plans

Dans un espace en trois dimensions, il n'existe que deux positions relatives de deux plans :

parallèles : strictement (intersection vide) ou bien confondus;
sécants : leur intersection est alors une droite. Ils peuvent être orthogonaux (une droite de l'un est orthogonale à deux droites sécantes de l'autre).

[modifier] Positions relatives d'un plan et d'une droite

Dans un espace en trois dimensions, il n'existe que deux positions relatives d'un plan et d'une droite :

parallèles : leur intersection est soit vide, soit la droite tout entière (droite incluse dans le plan);
sécants : leur intersection est un point.

[modifier] Équations dans un espace de dimension trois

[modifier] Définition par deux vecteurs et un point

Soit un point $A(a_1;a_2;a_3)\,$ par lequel passe le plan et $\vec u = \begin{bmatrix}u_1\\ u_2\\ u_3\end{bmatrix}$ et $\vec v = \begin{bmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3\end{bmatrix}$ les vecteurs directeurs non colinéaires qui définissent son orientation.

[modifier] Combinaison linéaire

Le plan passant par $A$ , de vecteurs directeurs $\vec u$ et $\vec v$ , est l'ensemble $\Pi\,$ des points $M(x;y;z)\,$ pour lesquels il existe deux scalaires $\lambda\,$ et $\mu\,$ tel que :

$\Pi : \vec{OM} = \vec{OA} + \lambda\vec u + \mu\vec v$ (équation vectorielle)

$\Pi : \begin{cases} x = a_1 + \lambda v_1 + \mu u_1 \\ y = a_2 + \lambda v_2 + \mu u_2 \\ z = a_3 + \lambda v_3 + \mu u_3 \end{cases}\quad \mbox{avec } (\lambda,\mu)\in\R^2$ (équations paramétriques)

[modifier] Coplanarité

Soit $M(x;y;z)\,$ un point quelconque du plan et $\vec{AM} = \begin{bmatrix}x - a_1\\ y - a_2\\ z - a_3\end{bmatrix}$ le vecteur défini par le bipoint $(A;M)\,$ .

Pour que ces trois vecteurs soient coplanaires, il faut que leur produit mixte soit nul :

$(\vec{AM} \times \vec u) \cdot \vec v = [\vec{AM},\vec u,\vec v] = 0$

$= \begin{vmatrix} x-a_1 && u_1 && v_1 \\ y-a_2 && u_2 && v_2 \\ z-a_3 && u_3 && v_3 \end{vmatrix} = u_2v_3(x-a_1) + u_3v_1(y-a_2) + u_1v_2(z-a_3) - u_2v_1(z-a_3) - u_3v_2(x-a_1) - u_1v_3(y-a_2)$

En mettant en évidence les termes :

$[\vec{AM},\vec u,\vec v] = (u_2v_3 - u_3v_2)x\quad +\quad (u_3v_1 - u_1v_3)y\quad +\quad (u_1v_2 - u_2v_1)z\quad -\ u_2v_3a_1 - u_3v_1a_2 - u_1v_2a_3 + u_2v_1a_3 + u_3v_2a_1 + u_1v_3a_2\,$

On distingue 4 parties, 4 nombres que nous appellerons $A, B, C, D$ . Nous pouvons ainsi écrire l'équation cartésienne du plan :

$\Pi : Ax + By + Cz + D = 0\,$

Nous remarquons en outre que les nombres A,B et C sont les composantes du vecteur $\vec u \wedge \vec v$ , le résultat du produit vectoriel des deux vecteurs directeurs. Celui-ci étant orthogonal au plan, on définit le vecteur normal au plan :

$\vec n = \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \cdot \begin{bmatrix}A\\B\\C\end{bmatrix}$

[modifier] Définition par un vecteur normal et un point

[modifier] Orthogonalité

Le plan passant par $A(a_1;a_2;a_3)\,$ , de vecteur normal $\vec n$ , est l'ensemble $\Pi\,$ des points $M(x;y;z)\,$ pour lesquels le vecteur les reliant au point A est orthogonal au vecteur normal; autrement dit pour lesquels le produit scalaire entre ces vecteurs est nul :

$\Pi : \vec n\cdot\vec{AM} = 0$

avec

$\vec{AM} = \vec{OM}-\vec{OA} = \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x - a_1\\ y - a_2\\ z - a_3\end{bmatrix}$

Cette définition amène ainsi à l'équation cartésienne :

$\vec n\cdot\vec{AM} = \vec n\cdot(\vec{OM}-\vec{OA})= \vec n\cdot\vec{OM}-\vec n\cdot\vec{OA} = 0$

$\Rightarrow n_1x+n_2y+n_3z-(n_1a_1+n_2a_2+n_3a_3) = 0\,$

On identifie généralement le quadruplet $(n_1;n_2;n_3;-\vec n\cdot\vec{OA})$ aux lettres $(A,B,C,D)\,$ et on appelle équation cartésienne du plan l'équation :