Principe de moindre action

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Dans Principe de la moindre quantité d'action pour la mécanique (1744), Maupertuis définit l'action comme suit :

« L'Action est proportionnelle au produit de la masse par la vitesse et par l'espace. Maintenant, voici ce principe, si sage, si digne de l'Être suprême : lorsqu'il arrive quelque changement dans la Nature, la quantité d'Action employée pour ce changement est toujours la plus petite qu'il soit possible. »

Sur le site [1], on fait observer que Fermat, Koenig et Leibniz avaient avancé le même principe sous le nom de « principe d’économie naturelle » ; lequel deviendra le principe de conservation de l’énergie avec les travaux d’Euler, de Lagrange, de Jacobi et de Hermann von Helmholtz.

[modifier] Énoncé moderne

[modifier] Notations

Considérons pour simplifier un point matériel décrit par un seul degré de liberté, noté $q (t)$ à l'instant $t$ ^[1]. A ce système de masse $m$ est associé un lagrangien :

$L(q,\dot{q} ) \ = \ \frac{1}{2} \, m \, \dot{q}^2 \ - \ V(q)$

où $V (q)$ est l'énergie potentielle.

[modifier] Action

A partir du lagrangien, on définit l'action classique par l'intégrale définie :

$S[q] \ = \ \int_{t_i}^{t_f} L(q(t),\dot{q}(t) \, ) \ dt$

où $t i$ et $t f$ désignent respectivement l'instant initial et l'instant final. La notation $S [q]$ signifie que l'action $S$ est une fonctionnelle du chemin continu $q (t)$ .

[modifier] Principe de moindre action

Le chemin $q 0 (t)$ effectivement suivi par le point matériel entre les instants $t i$ et $t f$ fixés est un extrémum de l'action :

$\delta S[q_0] \ = \ 0$

[modifier] Démonstration

Soit $q 0 (t)$ le chemin réellement suivi entre les instants $t i$ et $t i$ , vérifiant les conditions aux limites :

$q_0(t_i) \ = \ q_i \quad ; \quad q_0(t_f) \ = \ q_f$

Soit alors un chemin quelconque $q (t)$ vérifiant les mêmes conditions aux limites :

$q(t_i) \ = \ q_i \quad ; \quad q(t_f) \ = \ q_f$

On peut toujours décomposer ce chemin quelconque $q (t)$ sous la forme :

$q(t) \ = \ q_0(t) \ + \ \epsilon \, f(t)$

où $ε$ est un nombre et $f (t)$ une fonction continue qui doit vérifier les conditions aux limites :

$f(t_i) \ = \ f(t_f) \ = \ 0$

Le principe de moindre action nous dit alors que, lorsque $ε$ non nul tend vers zéro :

$\delta S[q_0] \ = \ S[q_0 + \epsilon f] \ - \ S[q_0] \ = \ 0 \ + \ O(\epsilon^2)$

Calculons l'action $S [q 0 + ε f]$ au premier ordre :

$S[q_0 + \epsilon f] \ = \ \int_{t_i}^{t_f} L(q_0(t) + \epsilon f(t), \dot{q}_0(t) + \epsilon \dot{f}(t) \, ) \ dt$

Un développement limité au premier ordre du lagrangien donne, en ommettant la dépendance explicite en temps pour simplifier l'écriture :

$L(q_0 + \epsilon f, \dot{q}_0 + \epsilon \dot{f} \, ) \ = \ L(q_0, \dot{q}_0\, ) \ + \epsilon \ \left[ \, \frac{\partial L(q_0, \dot{q}_0)}{\partial q} \ f \ + \ \frac{\partial L(q_0, \dot{q}_0)}{\partial \dot{q}} \ \dot{f} \, \right] \ + \ O(\epsilon^2)$

La variation de l'action est donc égale à :

$\delta S[q_0] \ = \ \epsilon \ \int_{t_i}^{t_f} \left[ \, \frac{\partial L(q_0, \dot{q}_0)}{\partial q} \ f(t) \ + \ \frac{\partial L(q_0, \dot{q}_0)}{\partial \dot{q}} \ \dot{f}(t) \, \right] \ dt \ + \ O(\epsilon^2)$

On peut réécrire le second terme en utilisant une intégration par partie :

$\int_{t_i}^{t_f} \frac{\partial L(q_0, \dot{q}_0)}{\partial \dot{q}} \ \dot{f}(t) \ dt \ = \ \left[ \frac{\partial L(q_0, \dot{q}_0)}{\partial \dot{q}} \ f(t)\right]_{t_i}^{t_f} \ - \ \int_{t_i}^{t_f} \frac{d~~ }{dt} \left(\frac{\partial L(q_0, \dot{q}_0)}{\partial \dot{q}}\right) \ f(t) \ dt \$

Le terme entre crochets est nul en raison des conditions aux limites imposées à la fonction $f (t)$ . On en déduit que la variation de l'action s'écrit au premier ordre :

$\delta S[q_0] \ = \ \epsilon \ \int_{t_i}^{t_f} f(t) \ \left[ \, \frac{\partial L(q_0, \dot{q}_0)}{\partial q} \ - \ \frac{d~~ }{dt} \left(\frac{\partial L(q_0, \dot{q}_0)}{\partial \dot{q}}\right) \, \right] \ dt \ + \ O(\epsilon^2)$

Cette variation doit être nulle d'après le principe de moindre action. Or, $\epsilon \ne 0$ et $f(t) \ne 0$ en général, donc l'intégrand doit être nul, et on obtient les équations d'Euler-Lagrange :

$\frac{d~~ }{dt} \left(\frac{\partial L(q_0, \dot{q}_0)}{\partial \dot{q}}\right) \ - \ \frac{\partial L(q_0, \dot{q}_0)}{\partial q} \ = \ 0$

QED

[modifier] Articles reliés

On pourra voir aussi un intéressant parallèle avec l'optique dans l'article :

Principe de Fermat

[modifier] Bibliographie

Richard P. Feynman ; Le cours de physique de Feynman - Electromagnétisme (I), chapitre 19, InterEditions (1979), ISBN 2-7296-0028-0. Réédité par Dunod (2000), ISBN 2-1000-4861-9