אינטגרציה בחלקים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

באנליזה מתמטית, אינטגרציה בחלקים היא שיטת אינטגרציה שמתבססת על שימוש בכלל המכפלה עבור נגזרות. בשיטת האינטגרציה בחלקים ניתן להפוך את הבעיה של אינטגרל של מכפלה של שתי פונקציות לבעיה של מציאת אינטגרל של מכפלת שתי פונקציות אחרות, נגזרת הראשונה והפונקציה הקדומה של השנייה. באמצעות המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, ניתן להשתמש גם בשיטה זו כדי לחשב במדויק אינטגרלים מסוימים.

[עריכה] ניסוח פורמלי

בהינתן שתי פונקציות גזירות ובעלות נגזרות רציפות $\ f,g$ , מתקיים:

$\ \int f(x)\cdot g'(x)\,dx=f(x)\cdot g(x)-\int f'(x) g(x)\,dx$

כדי להראות את נכונות הטענה די לגזור את שני האגפים, תוך שאנו מסתמכים על כלל המכפלה האומר כי $\ \left(f(x)\cdot g(x)\right)'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$ .

[עריכה] דוגמאות לשימושים

למרות שהכלל עובד תמיד, הוא לא בהכרח מפשט את האינטגרל שאותו אנו רוצים למצוא, ולכן יעיל לשימוש רק במקרים מסוימים. כמו כן כדאי לשים לב כי בהינתן פונקציה, ישנן מספר דרכים לפרק אותה למכפלה של שתי פונקציות, ובחירה חכמה שלהן יכולה להיות הכרחית להצלחת השיטה.

למשל, נניח כי אנו רוצים לחשב את האינטגרל $\ \int \arctan(x)\, dx$ . כאן נדמה כי הפונקציה שאנו מוצאים לה אינטגרל היא יחידה ואין כאן מכפלה של פונקציות, ולכן אין דרך להשתמש בשיטת האינטגרציה בחלקים, אולם ניתן להסתכל על אינטגרל זה כעל האינטגרל $\ \int 1\cdot \arctan(x)\,dx$ .

כעת, נבחר את הפונקציות של המכפלה כך: $\ g'(x)=1,f(x)=\arctan(x)$ . פונקציה קדומה של $\ 1$ קל לחשב: למשל $\ x$ . גם הנגזרת של $\ \arctan(x)$ ידועה: $\ \frac{1}{1+x^2}$ לכן נקבל: