אנליזה נומרית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

אנליזה נומרית היא ענף של מתמטיקה שימושית אשר חוקר את השיטות והאלגוריתמים למציאה או הערכה של פתרונות מספריים לבעיות מתמטיות שונות, על ידי שימוש במספר סופי של פעולות חשבון ופעולות לוגיות.

אנליזה נומרית מאפשרת לפתור בעיות כמו אינטגרלים של פונקציות לא אנליטיות, מציאת שורשים של פונקציות (למשל פולינומים ממעלה גבוהה, פונקציות טריגונומטריות וכדומה) ובעיות אחרות שקשה עד בלתי אפשרי למצוא להן פתרון אנליטי המתאים לכל פרמטר אפשרי.

[עריכה] הקדמה כללית

שיטה טובה מקיימת את שלושת התכונות הבאות:

דיוק - על האומדן הנומרי להיות מדויק ככל האפשר. הדבר דורש מהאלגוריתם להיות יציב מבחינה נומרית כפי שמוסבר בחלק הבא.
איכות - על האלגוריתם לספק פתרונות מספקים לבעיות רבות, ועליו לידע את המשתמש עד כמה התוצאה מדויקת, כלומר עליו להיות מסוגל לאמוד את שיעור השגיאה.
מהירות - קריטריון נוסף למדידת איכותו של אלגוריתם הוא המהירות בה הוא מסוגל לספק תוצאות. על סיבוכיותו של אלגוריתם טוב להיות נמוכה.

לעיתים קרובות התכונות באות זו על חשבונה של זו. למשל, בדרך כלל שיטה אחת יותר מהירה בעוד שהשנייה יותר מדויקת. פירוש הדבר שאין אלגוריתם שהוא הטוב ביותר בכל המקרים.

למרות שאנליזה נומרית עושה שימוש באקסיומות, תאוריות והוכחות תיאורטיות, היא יכולה להשתמש בתוצאות אמפיריות של חישובי מחשב על מנת לחקור שיטות חדשות ולנתח בעיות. בכך היא ייחודית בהשוואה לתחומי מתמטיקה אחרים.

[עריכה] דוגמה

אנליזה נומרית מאפשרת למעשה להפוך תוצאות מתמטיות אבסרקטיות (למשל $\ \sin 45$ ) לתוצאות עשרוניות. אנליזה נומרית איפשרה למשל למחשב (ל-Word ליתר דיוק) לצייר את העיגול הבא:

שקוטרו 4.76 ס"מ והנקודה הנקודה הכחולה ממוקמת ב-45 מעלות יחסית למרכז העיגול (הנקודה השחורה).

החישוב נעשה בדרך הבאה, בהנחה כי מרכז העיגול הוא ראשית הצירים (זאת הנחה סבירה כי אפשר להביא את החלון למצב כזה על ידי הגדרות כלליות שלו, בלי צורך לשנות את החישוב עצמו):

קובעים זווית=0
משתמשים בפיתוח טיילור עד לסדר רביעי (או אחר) על מנת לחשב את החישובים הבאים (x, y מייצגים את הפיקסל שבהם רוצים לצייר, r מייצג את רדיוס המעגל, $θ$ מייצגת את הזווית, הסוגריים המרובעים מציינים לקחת ערך שלם, החישובים נעשים ברדיאנים):

$\ x=[r*\cos \theta]$
$\ y=[r*\sin \theta]$

מגדילים את הזווית ב- $\frac{\pi}{100}$ , מחשבים את הנוסחאות הקודמות וחוזרים על סעיף זה 200 פעמים

בציור זה משתמשים באנליזה נומרית בצורה פשוטה יחסית פעמיים, בשני המקרים מדובר על שימוש בפיתוח טיילור שהוא קירוב של טור טיילור המתמטי. השימוש הוא על מנת לחשב את הפונקציות הטריגנומטריות שאינן נמנות על הפעולות הבסיסיות שהמעבד יכול לבצע (כמו חיבור).

אנליזה נומרית נדרשה גם בשביל לקבוע את המיקום המדויק של הנקודה. לכאורה אין בעיה מכיוון שבמתמטיקה ידועה התוצאה:

$\ \sin \frac{\pi}{4}=\cos \frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

אולם המחשב איננו יכול לעבוד עם סימולים כמו $\ \frac{1}{\sqrt{2}}$ על מנת להציבם ב-x, y שהופיעו בחישוב המעגל אלא הוא זקוק לייצוג בינארי של הסימולים, ייצוג המושג על ידי אנליזה נומרית והמאפשר למחשב (לאחר הכפלה ברדיוס המעגל) לצייר את הנקודה.