דטרמיננטה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

באלגברה לינארית, הדטרמיננטה של מטריצה בגודל $\ n\times n$ , היא סקלר התלוי ברכיבי המטריצה, ושווה לאפס בדיוק כאשר המטריצה אינה הפיכה. הדטרמיננטה מאפשרת לקבוע באמצעות חישוב יחיד האם למערכת המשוואות שהמטריצה מייצגת יש פתרון יחיד.

אם $\ A$ היא מטריצה ריבועית בעלת מקדמים ממשיים, אז הדטרמיננטה שלה שווה לנפחו של המקבילון (במרחב האוקלידי ה- $n$ -ממדי), שקודקודיו הם עמודות המטריצה. כתוצאה מכך, אם $\ S$ קבוצה כלשהי במרחב הממשי $\ \mathbb{R}^n$ , אז הנפח של $\ A\cdot S$ שווה לנפח של $\ S$ מוכפל בדטרמיננטה של $\ A$ , עובדה המסבירה את הופעתו של היעקוביאן בחישובי אינטגרלים מרובים). את הדטרמיננטה מסמנים ב- $\!\, |A|$ או $\!\, \det(A)$ .

הדטרמיננטה היא פונקציה כפלית (כלומר, $\ \det(AB) = \det(A)\det(B)$ ). אפשר לראות את הפונקציה $\ A \mapsto \det(A)$ כפונקציה של $n$ -ית העמודות של המטריצה, ואז זוהי הפונקציה היחידה שהיא לינארית בכל המשתנים, אנטי-סימטרית, ומקיימת $\ \det(I)=1$ כאשר $\ I$ היא מטריצת היחידה.

[עריכה] הסטוריה

הדטרמיננטות מופיעות, בצורה לא מפורשת, כבר בלוחות חרס בבליים מן המאה השניה לפני הספירה ואף לפני-כן, שם נעשה בהן שימוש לחקירת מערכות של שתי משוואות ליניאריות. במאה ה-16 עשה ג'רולאמו קרדנו צעד נוסף, כאשר נעזר בחישוב הדטרמיננטה כדי לפתור מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים; קרדנו הציג גרסה מוקדמת ולא מלאה של נוסחת קרמר, עבור מטריצות בגודל $\ 2\times 2$ .

הנוסחה לדטרמיננטה של מטריצות גדולות יותר הופיע באירופה וביפן בו זמנית, ב-1683. ביפן פרסם טאקאקזו סקי קווה (1642-1708) הסבר על חישוב הדטרימננטה של מטריצות מספריות מסדר המגיע עד $\ 5\times 5$ , לצורך פתרון של משוואות שונות. באותה שנה, הציג לייבניץ את הנוסחה הכללית לחישוב דטרמיננטה מסדר $\ 3\times 3$ , במכתב לדה ל'הופיטל.

נוסחת קרמר הופיעה לראשונה, עבור מטריצות בגודל $\ 3\times 3$ , בספר שפורסם ב-1748, כשנתיים לאחר מות המחבר קולין מקלורין. שנתיים אחר-כך פרסם גבריאל קרמר מאמר שבו תאר בנספח, ללא הוכחה, את הכלל הקרוי על-שמו עבור מטריצות בגודל כלשהו.

לגראנז' הציג את הפירוש של דטרמיננטה (מסדר $\ 3\times 3$ ) כאלמנט נפח, במאמר מ-1773 שעסק במכניקה. המונח דטרמיננטה מוצג לראשונה בספרו של גאוס על תורת המספרים; גאוס קרא לה כך משום שהיא קובעת (determines) את התכונות של התבניות הריבועיות שאותן חקר. עם זאת, הדטרמיננטה של גאוס אינה זהה להגדרה המקובלת היום. זו הופיעה בשם זה רק ב-1812, בעבודתו של קושי, שהוכיח לראשונה את הכלל החשוב $\ \det(AB) = \det(A) \det(B)$ .

הנושא הבשיל בשלושה מאמרים שפרסם יעקובי ב- 1841, בהם הוא הגדיר את הדטרמיננטה עבור מטריצה כללית ובאופן אלגוריתמי, שסייע לתפוצה הרחבה של הרעיון. את הסימון $\ |A|$ עבור הדטרמיננטה של A הציע ארתור קיילי באותה שנה.

הגדרה "אקסיומטית", של הדטרמיננטה, כתבנית (היחידה) שהיא מולטי-ליניארית, אנטי-סימטרית ומנורמלת התגלתה על-ידי קרל ווירשטראס, והתפרסמה ב-1903, לאחר מותו.

[עריכה] הגדרה פורמלית

הדטרמיננטה של מטריצה בגודל $\!\, n\times n$ מוגדרת על-פי הנוסחה הבאה:

$\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i, \sigma(i)}$

הסכום בנוסחה הוא על n! התמורות $\,\! \sigma$ האפשריות של המספרים $\!\, \left\{1,2,\dots,n\right\}$ . הסימן $\!\, \operatorname{sgn}(\sigma)$ נקבל על פי זוגיות התמורה. אם התמורה זוגית, $\,\! \operatorname{sgn}(\sigma)=1$ , אם היא אי זוגית, $\!\, \operatorname{sgn}(\sigma)=-1$ .

מעשית: עושים $! n$ סכומים על כל הצורות (סידורים) האפשריות של הכפלת n איברים לפי התאמה חד חד ערכית בין קבוצת (אינדקס) השורות לקבוצת (אינקס) העמודות. מקדם התמורה יקבע לפי מספר האיברים בסידור שלגביהם מספר (אינדקס) השורה גדול ממספר העמודה, אם המספר זוגי המקדם יהיה +, ואם אי זוגי הוא יהיה -.

[עריכה] פיתוח לפי מינורים

ההגדרה לדטרמיננטה היא מסובכת, וקשה ללמוד ממנה על הדרך שבה מחושבת הדטרמיננטה. על כן, נציג שיטה רקורסיבית לחישוב הדטרמיננטה הנקראת פיתוח לפי מינורים. מינור של איבר במטריצה הוא הדטרמיננטה של המטריצה המתקבלת על ידי מחיקת השורה והעמודה של אותו איבר מהמטריצה.

ראשית, נגדיר ישירות את הדטרמיננטה של מטריצה מגודל $\!\, 2\times 2$ :

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ .

כעת נראה כיצד ניתן לחשב דטרמיננטה מסדר $\!\, n\times n$ באמצעות דטרמיננטות מסדר $\!\, (n-1)\times (n-1)$ .

לצורך דוגמה נשתמש בדטרמיננטה מסדר $\!\, 3\times 3$ :

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}$ .

כעת, נבחר עמודה או שורה של המטריצה ונפתח את הדטרמיננטה על פיהן. נניח כי בדוגמה שלנו בחרנו את השורה העליונה.

אם בחרנו בשורה ה- $\!\, j$ , ערך הדטרמיננטה נתון על ידי הנוסחה $\!\, \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ji}M_{ji}$ , כאשר $\!\, M_{ji}$ היא המינור המתקבל ממחיקת השורה והעמודה של $\!\, a_{ji}$ . אם בחרנו בעמודה ה- $\!\, j$ , הנוסחה היא $\!\, \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}$ .

במילים פשוטות: אנו מחברים ומחסרים לסירוגין, עבור כל איבר בשורה/עמודה שבחרנו, את המכפלה שלו בערך הדטרמיננטה של המטריצה שמתקבלת ממחיקת העמודה והשורה אליה הוא שייך מהמטריצה שלנו. את ערך הדטרמיננטה הזו אנו כבר יודעים לחשב, מכיוון שזוהי דטרמיננטה מסדר $\!\, (n-1)\times (n-1)$ . אנו בוחרים אם לחבר או לחסר את המכפלה על פי הזוגיות של סכום מספר השורה ומספר העמודה של האיבר - אם הסכום זוגי, אנו מחברים, ואם הוא אי זוגי, אנו מחסרים.

בדוגמה שלנו, מפיתוח על פי השורה הראשונה נקבל:

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{vmatrix} + a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{vmatrix}$ .

שיטה זו (כמו גם ההגדרה שניתנה לעיל) מצריכות כ- $\ n\cdot n!$ פעולות בשדה. אפשר לחשב את הדטרמיננטה בכ- $n 3$ פעולות באמצעות שיטת הדירוג של גאוס.

[עריכה] תכונות הדטרמיננטה

לדטרמיננטה מספר תכונות אלגבריות חשובות:

החלפת מקומן של שתי שורות (או עמודות) במטריצה משנה את סימן הדטרמיננטה אך לא את גודלה: אם $\!\, A'$ התקבלה מהמטריצה $\!\, A$ על ידי החלפת שתי שורות, אז $\!\, |A'|=-|A|$ .
הוספה של כפולה בסקלר של שורה (עמודה) אחת לשורה (עמודה) אחרת אינה משנה את ערך הדטרמיננטה של המטריצה המתקבלת. זוהי תכונה חשובה מאוד, שמקלה לעתים קרובות על חישוב ערכה של דטרמיננטה.
הכפלה של שורה (או עמודה) במטריצה בסקלר מכפילה את ערך הדטרמיננטה של המטריצה באותו סקלר: אם $\!\, A'$ התקבלה מהמטריצה $\!\, A$ על ידי הכפלת שורה כלשהי בסקלר $\!\, \lambda$ , אז $\!\, |A'|=\lambda|A|$ .
מהתכונה האחרונה מתקבלת תכונה כללית יותר: אם $\!\, A$ היא מטריצה מסדר $\!\, n\times n$ , אז $\!\, |\lambda A|=\lambda^n|A|$ .
הדטרמיננטה של מטריצה שווה לדטרמיננטה של המטריצה המשוחלפת שלה: $\!\, |A|=|A^T|$ .
הדטרמיננטה של מטריצה שיש בה שורה או טור של אפסים היא 0. קל לראות מדוע תכונה זו נכונה - פשוט מפתחים את הדטרמיננטה על פי אותה שורה או עמודה.
הדטרמיננטה של המטריצה שונה מאפס אם ורק אם זוהי מטריצה רגולרית.