מספר פריק במיוחד

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

מספר פריק במיוחד הוא מספר שלם חיובי שיש לו יותר מחלקים מכל מספר שלם טבעי קטן יותר. עשרים המספרים הפריקים במיוחד הראשונים הם:

1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 7560 ו-10080.

ישנם אינסוף מספרים פריקים במיוחד. כדי להוכיח עובדה זו, נניח ש-n הוא מספר פריק במיוחד כלשהו. ל-2n יש יותר מחלקים מאשר ל-n (כי 2n מחלק את עצמו וכמו כן כל מחלקי n), ולכן קיים מספר גדול מ-n אך לא גדול מ-2n שהוא מספר פריק במיוחד.

מבחינה לא פורמלית, כדי שמספר יהיה פריק במיוחד הוא צריך שיהיו לו גורמים ראשוניים קטנים ככל האפשר, ושיהיו שונים זה מזה.

אם נפרק מספר n לגורמים ראשוניים בצורה הבאה:

$n = p_1^{c_1} \times p_2^{c_2} \times \cdots \times p_k^{c_k}$

כאשר $p_1 < p_2 < \cdots < p_k$ הם ראשוניים, המעריכים $c i$ הם מספרים שלמים וחיוביים, אז מספר המחלקים של n הוא בדיוק:

$(c_1 + 1) \times (c_2 + 1) \times \cdots \times (c_k + 1)$ .

ולכן כדי ש-n יהיה מספר פריק במיוחד:

k המספרים הראשוניים הנתונים $p i$ חייבים להיות k המספרים הראשוניים הראשונים (2, 3, 5...); אחרת, נוכל להחליף אחד הראשוניים הנתונים בראשוני קטן יותר, ובכך להשיג מספר קטן יותר מ-n שלו אותו מספר מחלקים (לדוגמה, את 10=2*5 ניתן להחליף ל- 6=2*3 לשניהם יש 4 מחלקים).
סדרת המעריכים צריכה להיות יורדת במובן הכללי, כלומר $c_1 \geq c_2 \geq \cdots \geq c_k$ ; אחרת על ידי החלפת שתי מעריכים החורגים מכלל זה ניתן לבנות מספר קטן יותר מ-n אם אותה כמות מחלקים (לדוגמה, את 18=2¹x3² ניתן להחליף ב-12=2²x3¹, לשניהם 6 מחלקים).