נקודת קיצון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה, נקודת קיצון (נקודת אקסטרמום) של פונקציה סקלרית היא נקודה שבה ערכה הוא גבוה ביותר או נמוך ביותר. יש להבדיל בין נקודות קיצון מקומיות ובין נקודות קיצון גלובליות. נקודת קיצון גלובלית היא כזו שהערך בה הוא הגדול ביותר (או הנמוך ביותר) בכל תחום ההגדרה של הפונקציה. לעומת זאת, נקודת קיצון מקומית הוא כזו שקיימת סביבה של הפונקציה שבה ערכה של הפונקציה באותה נקודה הוא הגבוה או הנמוך ביותר.

הדרך היעילה ביותר למציאת נקודות קיצון של פונקציה היא באמצעות שימוש בנגזרת.

[עריכה] הגדרה פורמלית

תהא $\ f(x):\mathbb{R}^n\rarr \mathbb{R}$ פונקציה.

נאמר שהנקודה $\ x_0$ היא מקסימום גלובלי של הפונקציה אם לכל נקודה $\ x$ בתחום ההגדרה של הפונקציה מתקיים $\ f(x_0)\ge f(x)$ .
נאמר שהנקודה $\ x_0$ היא מינימום גלובלי של הפונקציה אם לכל נקודה $\ x$ בתחום ההגדרה של הפונקציה מתקיים $\ f(x_0)\le f(x)$ .
נאמר שהנקודה $\ x_0$ היא מקסימום מקומי של הפונקציה אם קיימת סביבה $\ U$ של $\ x_0$ לכל נקודה $\ x\isin U$ בתחום ההגדרה של הפונקציה מתקיים $\ f(x_0)\ge f(x)$ .
נאמר שהנקודה $\ x_0$ היא מינימום מקומי של הפונקציה אם קיימת סביבה $\ U$ של $\ x_0$ לכל נקודה $\ x\isin U$ בתחום ההגדרה של הפונקציה מתקיים $\ f(x_0)\le f(x)$ .

בשם נקודת קיצון של $\ f(x)$ נקרא לכל נקודת מינימום או מקסימום, מקומית או גלובלית, של הפונקציה.

נשים לב כי הגדרה זו מתבססת על כך שהפונקציה היא סקלרית, כלומר תמונתה היא מספר ממשי. אם הפונקציה הייתה מחזיקה וקטור, למשל, היה טבעי פחות לדבר על נקודות קיצון שכן אין לוקטורים יחס סדר כמו זה של המספרים הממשיים.

משפט פרמה קובע כי תנאי הכרחי להיות נקודה כלשהי נקודת קיצון הוא שהנגזרת שלה (ועבור פונקציות של כמה משתנים, הגרדיאנט שלה) תתאפס באותה נקודה.