פורמליזם (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

הפורמליזם (בעברית: הצרנה) הוא מתודה מתמטית שמהווה מלבד שיטת עבודה גם פילוסופיה ותפישה כוללת לגבי מהות המתמטיקה.

תוכן עניינים

1 הפורמליזם כשיטה
- 1.1 דוגמה להצרנה
2 התזה האקסיומטית
3 ראו עוד

[עריכה] הפורמליזם כשיטה

הפורמליזם כשיטה מתייחס למערכת המשוואות, הנוסחאות, הסימנים וחוקי ההסקה שבאמצעותם תורה מתמטית מביעה את הטענות שלה. לפי שיטה זו, כדי לפתור בעיה כלשהי - ראשית יש לתרגם אותה לשפת התאוריה על ידי הצרנה שלה (רישומה והצגתה באמצעות סמלים ועצמים של התאוריה) ואז לטפל בה לפי חוקי התאוריה.

השימוש הידוע ביותר (לקהל הרחב) בהצרנה הוא הצרנת טענות לוגיות לשם ניתוח המבנה והתוקף שלהן. שיטה זו שימושית במיוחד כדי לטפל בשאלות היגיון במבחנים דוגמת הפסיכומטרי.

[עריכה] דוגמה להצרנה

לדוגמה, נראה את שאלת ההגיון הבאה:

"אם ירד גשם, רוני ייקח מטריה." מה נובע מכך?

רוני ייקח מטריה.
אם לא ירד גשם, רוני לא יקח מטרייה.
אם לא ירד גשם, רוני יקח מטריה.
אם רוני לא ייקח מטריה, סימן שלא ירד גשם.

התשובה הנכונה, למרות שנשמעת לא הגיונית, היא דווקא 4.

הסבר: אם נסמן את הביטוי "ירד גשם" ב R ואת "רוני יקח מטריה" ב U, אזי ההצרנה של "אם ירד גשם, רוני ייקח מטריה" היא $\ R \rightarrow U$ . כעת נצרין את התשובות:

U.
$\ \lnot R \rightarrow \lnot U$
$\ \lnot R \rightarrow U$
$\ \lnot U \rightarrow \lnot R$

מבחינה לוגית, רק 4 שקולה להצהרה המקורית ובפרט היא היחידה שנובעת ממנה. את השקילות הנ"ל אפשר לוודא ישירות באמצעות טבלת אמת.

להסברים מפורטים יותר בנושא זה, ראו בערך תחשיב הפסוקים.

[עריכה] התזה האקסיומטית

האסכולה הפורמליסטית אימצה את התזה האקסיומטית של דייוויד הילברט הטוענת כי המתמטיקה היא הנוסחאות הקונקרטיות עצמן, שהן אוסף עצמים קונקרטיים המהווים אותיות, ולא משמעות כלשהי שנייחס לנוסחאות. כלומר: לעצמי המתמטיקה אין שום משמעות כי הם לא מורים על שום דבר מלבד עצמם. כדי להשיג מצב כזה, פיתח הילברט שיטה של "הגדרה מקופלת" בה העצמים המתמטיים מוגדרים בשלמות על ידי האקסיומות אותן הם מקיימים (ראה למשל: נקודה גאומטרית). כאשר הילברט ניגש לנסח את התזה הזאת הוא הושפע מאוד מעמנואל קאנט ומטרתו הייתה להעניק למתמטיקה ולמשפטיה ודאות מוחלטת ושלמות (כלומר: התורה המתמטית מכילה רק את מה שהמתמטיקאי מכניס לתוכה, כך שהוא יכול להכירה באופן שלם ובלתי אמצעי).

על סמך תזה זו פיתח הילברט מפעל שלם שמטרתו היה לבסס את המתמטיקה במסגרת ההצרנה (פורמליזציה) המלאה שלה וניסוח ריגורוזי ומקיף של האקסיומות העומדות בבסיסה. תוכנית זאת התגלתה כחסרת תוחלת, אחרי שהלוגיקן האוסטרי קורט גדל הוכיח את משפטי האי-שלמות שלו שהוכיחו שאי אפשר לנסח תורה אקסיומטית המכילה את האריתמטיקה שתהיה גם קונסיסטנטית וגם שלמה (כלומר: כל טענה אפשר להוכיח או להפריך במסגרת האקסיומות. או במילים אחרות: לא קיים משפט אמיתי שאי-אפשר להוכיח באמצעות האקסיומות). תגלית זו הנחיתה מכת מוות על התוכנית של הילברט.

למרות שהפורמליזם כשלה כפילוסופיה יסודית ומקיפה, היא פרחה ביותר כשיטת עבודה וכחלק מהתרבות המתמטית.

[עריכה] ראו עוד

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%A4/%D7%95/%D7%A8/%D7%A4%D7%95%D7%A8%D7%9E%D7%9C%D7%99%D7%96%D7%9D_%28%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94%29.html

קטגוריות: מתמטיקה | פילוסופיה של המדע

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

פורמליזם (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תוכן עניינים

[עריכה] הפורמליזם כשיטה

[עריכה] דוגמה להצרנה

[עריכה] התזה האקסיומטית

[עריכה] ראו עוד

Views

ניווט

קהילה

חיפוש

שפות אחרות