קריטריון איזנשטיין

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה, קריטריון איזנשטיין נותן תנאי מספיק לכך שפולינום בעל מקדמים שלמים הוא אי פריק מעל חוג השלמים $\ \mathbb{Z}$ (לפי הלמה של גאוס פולינום כזה הוא גם אי פריק מעל שדה המספרים הרציונליים $\ \mathbb{Q}$ ).

[עריכה] נוסח המשפט

פולינום $\ f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$ בעל מקדמים שלמים מקיים את תנאי איזנשטיין אם קיים מספר ראשוני $\ p$ כך ש-

$\ p$ מחלק את $\ a_{i}$ לכל $\ 0\le i<n$ .
$\ p$ לא מחלק את $\ a_{n}$ .
$\ p^{2}$ לא מחלק את $\ a_{0}$ .

פולינום המקיים תנאי זה הוא אי פריק מעל השלמים. פולינומים המקיימים את תנאי איזנשטיין נקראים לפעמים פולינומי איזנשטיין.

באופן כללי יותר, פולינום המוגדר מעל תחום שלמות D מקיים את תנאי איזנשטיין אם קיים אידאל מקסימלי P של D, כך שכל מקדמי הפולינום פרט לראשון שייכים ל-P, וכך שהמקדם האחרון אינו שייך לאידאל $\ P^2$ . במקרה זה הפולינום אי פריק מעל D (ולפי הלמה של גאוס, הוא אי פריק מעל שדה השברים של D).

בשדה מקומי, כל הרחבה מסועפת לחלוטין מתקבלת מסיפוח שורש של פולינום איזנשטיין לשדה.

[עריכה] דוגמאות

1. הדרך הקלה להוכיח שהפולינום הציקלוטומי $\ f(x)=\frac{x^p-1}{x-1}=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots + x+1$ אי פריק כאשר p ראשוני, היא להבחין ש- $\ f(x+1)$ מקיים את קריטריון איזנשטיין עבור p.

2. נתבונן ב- $\ g(x)=3x^{4}+15x^{2}+10$ . הגורם המשותף של המקדמים 10 ו- 15 הוא ראשוני, 5. מכיוון ש-5 איננו מחלק את 3, המקדם המוביל ו- $\ 5^{2}=25$ איננו מחלק את 10, המקדם האחרון - הפולינום עונה על התנאי ולכן הוא אי פריק מעל השלמים.

3. במקרים מסוימים קשה לדעת באיזה מספר ראשוני לבחור, אבל לעתים לגלות זאת על ידי הצבת y = x + a במה שנקרא לעתים הזזה.

התבוננו לדוגמה בפולינום $\ h(x)=x^{2}+x+2$ . נראה שאין ראשוני המחלק את 1, המקדם של x. אבל, אם נציב $\ x+3$ , נקבל את הפולינום $\ h(x+3)=x^{2}+7x+14$ , אשר מקיים את הקיטריון עבור המספר הראשוני 7. כלומר, על ידי הזזת הפולינום הצלחנו להראות שהוא מקיים את קריטריון איזנשטיין.

[עריכה] הוכחה בסיסית

(הוכחה למקרה של פולינום בעל מקדמים שלמים). נתבונן ב- $\ f(x)$ כפולינום מודולו $\ p$ , כלומר נעתיק את המקדמים לשדה $\ Z_{p}$ . מכיוון שכל המקדמים פרט למקדם המוביל מתחלקים ב- $\ p$ נקבל את הפולינום $\ cx^{n}$ עם מקדם כלשהו שונה מאפס $\ c$ . נניח בשלילה שניתן לפרק את $\ f$ לשני פולינומים $\ g$ ו- $\ h$ שהמכפלה שלהם שווה ל- $\ f$ ונקבל ש- $\ h=ax^{k}$ $\ g=bx^{n-k}$