שדה המספרים הממשיים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

שדה המספרים הממשיים (או: השדה הממשי) הוא הקבוצה שאבריה הם המספרים הממשיים, עם פעולות החיבור והכפל הרגילות. את קבוצת המספרים הממשיים נהוג לסמן באות $\mathbb {R}$ . נהוג לזהות את שדה המספרים הממשיים עם הישר החד-ממדי האינסופי הרציף, לכן השדה נקרא פעמים רבות "הישר הממשי", בייחוד כאשר רוצים לדבר על תכונות יותר "טופולוגיות" או "גאומטריות" שלו.

[עריכה] תכונות השדה הממשי

השדה הממשי הוא בראש וראשונה שדה סדור. בנוסף, הוא שדה סדור שלם: לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל יש חסם עליון (תכונה זו מכונה לעתים "אקסיומת החסם העליון"). מתכונה זו נובע שהשדה הממשי הוא שדה ארכימדי, וכן שהוא מרחב מטרי שלם ביחס למטריקה המוגדרת על-ידי הערך המוחלט.

[עריכה] עוצמת המספרים הממשיים

גאורג קנטור הוכיח באמצעות שיטת האלכסון של קנטור כי עוצמת קבוצת המספרים הממשיים גדולה מעוצמת קבוצת המספרים הטבעיים (למעשה, היא שווה לעוצמת קבוצת החזקה של המספרים הטבעיים). נהוג לסמן את עוצמת המספרים הממשיים בסימונים $\ \aleph, 2^{\aleph_0}, c$ ולכנותה עוצמת הרצף.

[עריכה] היסטוריה

מבחינה היסטורית, השדה הממשי הופיע אחרי שהתברר שהמספרים הרציונליים אינם מספיקים לצרכים גאומטריים, למשל בגלל שאורך האלכסון של ריבוע שאורך צלעו יחידה אחת אינו מספר רציונלי (ראה פיתגוראים). עד סוף המאה ה-19 חשבו על המספרים הממשיים כאורכים של קטעים על ישר אינסופי (כלומר, הבינו את המספרים האלה כעומדים בהתאמה חד-חד ערכית עם הנקודות על הישר), ותפיסה זו עמדה ביסוד התאור האלגברי של הגאומטריה, באמצעות קואורדינטות קרטזיות (על-ידי דקארט). זו גם הסיבה מדוע לעיתים קרובות שדה זה נקרא בשם הישר הממשי.

יש כאן בעיה עקרונית: מצד אחד מנסים להיפטר ממספר גדול של אקסיומות גאומטריות בעזרת ביסוס אלגברי, ומצד שני, האובייקט האלגברי היסודי (השדה הממשי) מוגדר באמצעים גאומטריים. לבעיה זו נמצא פתרון משביע רצון, כאשר ב-1872 פרסם גאורג קנטור מאמר שבו הגדיר את המספרים הממשיים באמצעות סדרות קושי של מספרים רציונליים; הגדרתו (השקולה) של ריכארד דדקינד את המספרים הממשיים באמצעות חתכי דדקינד פורסמה מעט מאוחר יותר באותה שנה.

אפשר להגדיר את השדה הממשי באופן אקסיומטי, כשדה הסדור השלם המינימלי.