תורת המידה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

תורת המידה היא תורה העוסקת בחקירה של פונקציות מידה, מבנים אלגבריים של קבוצות ובשימוש בהן לביצוע אנליזה מתמטית. ענף זה של המתמטיקה קשור באופן הדוק לתורת הקבוצות, לטופולוגיה ולאנליזה ממשית. בענף זה מפתחים כלים חזקים ולכן הוא משמש לחקור קבוצות ופונקציות מסובכות ומפתיעות, שבדרך כלל לא נתקלים בהן באנליזה הסטנדרטית, למשל: קבוצת קנטור.

[עריכה] מונחים בתורת המידה

מידה (מתמטיקה): פונקציה המוגדרת מעל מרחב או קבוצה מסוימת ומתאימה לכל תת-קבוצה שלו מספר ממשי אי-שלילי. המידה היא סיגמא-אדיטיבית ומקיימת מספר תכונות מיוחדות.
מידת הסתברות: מידה חיובית שעבורה מידת כל המרחב עצמו היא 1 ומקיימת את אקסיומות ההסתברות.
מידת לבג: מידה המכלילה את המושגים של אורך בישר הממשי ובאופן כללי של נפח במרחב $\mathbb{R}^n$ .
מידה אפס: קבוצה שמידתה היא אפס. זוהי קבוצה שלצרכי אנליזה השפעתה זניחה.
כמעט בכל מקום: תכונה שמתקיימת בכל הנקודות בתחום (המרחב שבו עובדים) פרט אולי לקבוצה החלקית לתחום זה שמידתה היא אפס.
סיגמא-אלגברה: אוסף של קבוצות הסגור תחת לקיחת משלים ותחת ביצוע איחודים וחיתוכים בני מניה.
קבוצות בורל: הקבוצות בסיגמא-אלברה הנוצרת על ידי הקבוצות הפתוחות בישר הממשי.
$\ G_\delta$ = קבוצה שהיא חיתוך בן מניה של קבוצות פתוחות. זהו סוג של קבוצת בורל.
$\ F_\sigma$ = קבוצה שהיא איחוד בן מניה של קבוצות סגורות. זהו סוג של קבוצת בורל.
פונקציה מדידה: זוהי פונקציה ממשית ( $\ f: X \to \mathbb{R}$ ) שמקיימת את התכונה הבאה - תמונה הפוכה של כל קבוצת בורל בטווח היא קבוצה מדידה.
פונקציה פשוטה: פונקציה המקבלת מספר סופי של ערכים (הכללה של פונקציית מדרגה).
אינטגרל לבג: אינטגרל של פונקציות מדידות. הכללה של אינטגרל רימן.