Univerzális kvantifikáció

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Tekintsünk valamilyen megítélhető tartalmat, azaz ítéletet. Minden ítéletben az ítélés $\vdash$ jelétől jobbra eső jelsorozat felfogható úgy is, mint ami valamely függvény valamely argumentumába mint változóba történő behelyettesítéssel áll elő.

Például a „Feri utcagyerek volt” ítélet felfogható úgy, hogy az „ ... utcagyerek volt.” logikai függvény „...” argumentumába a „Feri” individuumnév helyettesítésével keletkezett.

Sokszor, de a matematikában különösen sokszor, szükség van arra, hogy egy függvény egy argumentumának minden lehetséges értékéről kijelentsük, hogy a függvény bármelyikre is alkalmazva, azaz az érték nevét a függvény adott argumentumába helyettesítve, igaz állítás adódik. Ilyenkor azt mondjuk, univerzális kvantifikációt hajtunk végre, azaz univerzálisan kvantáljuk az illető függvény illető argumentumát. Az univerzális kvantifikáció logikai operáció, melynek szimbolikus, formalizált megjelenési formája egy adott formális nyelvben az univerzális kvantor. Az így kapott ítéleteket univerzálisan kvantált mondatoknak-ítéleteknek is nevezzük. Az a függvény, melynek argumentumát kvantáltuk, hogy a mondatot kapjuk, a kvantifikáció, illetve a mondat magja (magfüggvénye).

Például tekintsük az „Akárhol járok, mindig megállok”; „Úgy megkívánom, mindent megér”; „Túró Rudi, Túró Rudi, Túró Rudi, mindenki szereti” mondatokat! Az első mondat alapja (magfüggvénye) egy „ x helyen járok és ott x-nél meg is állok” mondat, melynek x változójának univerzális kvantifikációjával adódik maga a mondat. A másik mondatot valahogy úghy lehet elképzelni, hogy „Mert annyira megkívánom a Túró Rudit, ezért minden (dolgo)t megér nekem.” Ha a dolog szót tekintjük változónak, akkor a magfüggvény: „Mert annyira megkívánom a Túró Rudit, ezért megéri nekem a ... dolgot.”. A harmadik mondat formalizálásához vezessük be az S(x,y) jelölést az „x szereti y-t” kétargumentumú (kétváltozós) függvény jelölésére, a megfelelő mondat úgy keletkezik, hogy behelyettesítjük az „y” változó helyére a Túró Rudi individuumnevet, az „x” változót pedig univerzálisan kvantifikáljuk (azaz kijelentjük, hogy bármi értelmeset is írjunk a helyébe, az szeretni fogja a Túró Rudi nevű individuumot).