Dimensione (spazio vettoriale)

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In matematica, la dimensione di uno spazio vettoriale V è la cardinalità (cioè il numero di vettori) di una base di V. È talvolta chiamata dimensione di Hamel o dimensione algebrica, per distinguerla da altri tipi di dimensione. Tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità (vedi teorema della dimensione di uno spazio vettoriale) e quindi la dimensione di uno spazio vettoriale è unicamente definita. La dimensione dello spazio vettoriale V sul campo F è scritta come dim_F(V).

Diciamo che V è finito-dimensionale se la dimensione di V è finita.

[modifica] Esempi

Lo spazio vettoriale R³ ha {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} come base, e quindi abbiamo dim_R(R³) = 3. Più in generale, dim_R(Rⁿ) = n. E ancora più in generale, dim_F(Fⁿ) = n.
I numeri complessi C sono contemporaneamente uno spazio vettoriale reale e complesso, ma con dimensioni diverse: abbiamo dim_R(C) = 2 e dim_C(C) = 1. Quindi la dimensione dipende dal campo.
Uno spazio vettoriale di dimensione 0 è fatto di un punto solo.
Le matrici con n righe e m colonne formano uno spazio vettoriale di dimensione n*m.
Le matrici simmetriche n x n formano un sottospazio delle matrici quadrate di dimensione (n + 1)n/2.
I polinomi con coefficienti in un campo F formano uno spazio vettoriale F[x] che non ha una base finita: diciamo quindi che lo spazio ha dimensione infinita. I polinomi di grado al più n formano però un sottospazio di F[x] di dimensione n+1.

[modifica] Proprietà

Se W è un sottospazio vettoriale di V, allora dim(W) ≤ dim(V).
Per mostrare che due spazi vettoriali finito-dimensionali sono uguali, si usa spesso il seguente criterio: se V è uno spazio vettoriale finito-dimensionale e W è un sottospazio lineare di V con dim(W) = dim(V), allora W = V.
Due spazi vettoriali qualsiasi su F aventi la stessa dimensione sono isomorfi. Ogni mappa biiettiva fra le loro basi può essere estesa in un solo modo a una mappa lineare biiettiva fra gli spazi vettoriali. Se B è un determinato insieme, uno spazio vettoriale di dimensione |B| su F può essere costruito nel seguente modo: si prenda l'insieme F^(B) di tutte le funzioni f : B → F tali che f(b) = 0 per tutti i b (in numero finito) in B. Queste funzioni possono essere sommate e moltiplicate con elementi di F, e otteniamo così l'F-spazio desiderato.
La formula di Grassmann e il teorema della dimensione sono due risultati importanti che mettono in relazione le dimensioni di alcuni sottospazi in certe configurazioni.
Se F/K è una estensione di campo, allora F è in particolare uno spazio vettoriale su K. Inoltre, ogni F-spazio V è anche un K-spazio. Le dimensioni sono messe in relazione dalla formula

dim_K(V) = dim_K(F) dim_F(V).

In particolare ogni spazio vettoriale complesso di dimensione n è uno spazio vettoriale reale di dimensione 2n.

Alcune formule semplici mettono in relazione la dimensione di uno spazio vettoriale con la cardinalità del campo base e la cardinalità dello spazio stesso. Se V è uno spazio vettoriale su un campo F, allora, indicando la dimensione di V con dimV, abbiamo:

Se dimV è finita, allora |V| = |F|^dimV.

Se dimV è infinita, allora |V| = max(|F|, dimV).

[modifica] Generalizzazioni

Si può vedere uno spazio vettoriale come un caso particolare di un matroide, e in quest'ultimo esiste una nozione di dimensione ben definita. La lunghezza di un modulo e il rango di un gruppo abeliano hanno entrambi molte proprietà simili alla dimensione di uno spazio vettoriale.