Magnetoidrodinamica

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Simulazione magnetoidrodinamica del vento solare [1].

La magnetoidrodinamica (MHD) (da magnetohydrodynamics), è la disciplina che studia la dinamica dei fluidi elettricamente conduttori. Tra questi si annoverano i plasmi, i metalli liquidi, e l'acqua marina. La parola magnetoidrodinamica deriva da "magneto-" (riferita al campo magnetico), "idro-" (riferita ai fluidi) e dinamica (che significa movimento). La disciplina della magnetoidrodinamica fu studiata da Hannes Alfvén, per cui ricevette il premio Nobel nel 1970.

Il set di equazioni che descrivono la MHD sono una combinazione delle equazioni di Navier-Stokes, dalla fluidodinamica, e le equazioni di Maxwell, dall'elettromagnetismo. Queste equazioni differenziali devono essere risolte simultaneamente. Questo compito è impossibile da condurre simbolicamente, tranne che nei casi più semplici. Per i problemi più realistici, si cercano soluzioni numeriche tramite l'uso di supercomputer. Poiché la MHD tratta corpi continui, non può trattare fenomeni cinetici, ad esempio quelli per cui è importante l'esistenza di particelle discrete, o di una distribuzione non termica delle loro velocità ^[1].

Tuttavia, è possibile una deduzione rigorosa delle equazioni MHD a partire dai principi primi, cioè dell' equazione cinetica per un insieme di ioni ed elettroni immersi in un campo magnetico, introducendo poi le ipotesi opportune sulle collisioni fra le particelle, che permettono di passare dai moti microscopici alle variabili fluide macroscopiche: questo problema è stato affrontato in modo rigoroso dal fisico russo Stanislav Braginskij negli anni intorno al 1960 ^[2]. In termini molto semplici, la MHD richiede che la frequenza di collisioni fra le particelle sia abbastanza elevata da permettere il raggiungimento di una distribuzione di Maxwell per le particelle componenti il fluido o il plasma.

Indice

1 MHD Ideale
- 1.1 MHD ideale all' equilibrio
- 1.2 Limiti della MHD ideale
2 Applicazioni
3 Bibliografia

[modifica] MHD Ideale

L'approssimazione più comune dell'MHD è di assumere che il fluido sia un conduttore perfetto con una resistività piccolissima o nulla; questa semplificazione porta alla MHD ideale. Non è una semplificazione da poco, nel senso che nella legge di Ohm generalizzata:

$\, \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} = \eta \mathbf{J} \,$ .

il campo elettrico diventa dipendente solo dalla velocità fluida e dal campo magnetico, nel limite di resistività $η = 0$ . In pratica, il campo elettrico può essere eliminato dalle equazioni di Maxwell.

Il set completo di equazioni della MHD ideale è quindi ^[3]:

$\, (1) \qquad \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \,$ .

$\, (2) \qquad \rho \frac{\mathrm{d} \mathbf{v}}{\mathrm{d} t} = \mathbf{J} \times \mathbf{B} - \nabla p \,$ .

$\, (3) \qquad \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \nabla \times (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \,$ .

$\, (4) \qquad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} \,$ .

$\, (5) \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \,$ .

Si riconosce la semplificazione, nel senso che l'equazione (3) nasce dalla legge di Faraday unita alla Legge di Ohm nell'approssimazione della MHD ideale.

Nel regime ideale, la MHD impone che le linee di campo magnetico non possono muoversi attraverso il fluido, e rimangono legate alle stesse zone di fluido a tutti i tempi: questo risultato prende il nome di Teorema di Alfvén (è un analogo fluido della Legge di Lenz). Sotto queste condizioni, la maggior parte delle correnti elettriche tendono ad essere compresse in zone sottili, quasi bidimensionali, chiamate current sheets (lamine di corrente). Ciò ha l'effetto di dividere il fluido in dominii magnetici, ognuno dei quali possiede una piccola corrente elettrica nella direzione delle linee di campo.

La connessione tra le linee di campo magnetico e il fluido in regime ideale fissa la topologia del campo magnetico nel fluido -- ad esempio, se un numero di linee di campo sono "annodate", esse rimarranno tali finché il fluido continuerà a mantenere una resistività trascurabile. La difficoltà di rompere le linee di campo per "riannodarle" (riconnetterle) in un modo diverso fa sì che il plasma possa accumulare una grande quantità di energia magnetica, sotto forma di velocità fluida che scorre nel sistema. Questa energia può essere resa disponibile se le condizioni della MHD ideale vengono meno, dando origine ai fenomeni noti come riconnessione magnetica.

[modifica] MHD ideale all' equilibrio

Una ulteriore semplificazione si ottiene se si eliminano nelle equazioni le derivate temporali: si ottengono quindi le equazioni della MHD ideale all' equilibrio, e cioè

$\, (1a) \qquad \nabla p = \mathbf{J} \times \mathbf{B} \,$ .

$\, (2a) \qquad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} \,$ .

$\, (3a) \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \,$ .

Con questo tipo di equazioni si possono analizzare per esempio di dispositivi di confinamento magnetico nell'ambito della Fusione nucleare. Si riconosce per esempio che le equazioni (1a)--(3a) non contengono più la velocità fluida, ma sono le correnti, i campi magnetici, e la pressione (cinetica) del fluido. In generale, un fluido conduttore o un plasma saranno in equilibrio se le correnti e i campi magnetici bilanciano la pressione interna del fluido (che tende a fare espandere il fluido stesso). In particolare, l' equazione (1a) dice che le superfici isobare (cioè, di pressione costante) sono superfici a flusso magnetico costante (superfici di flusso).

[modifica] Limiti della MHD ideale

Siccome il plasma è un buon conduttore di elettricità, ma non è esattamente un conduttore perfetto, il campo magnetico non è perfettamente congelato, ma può muoversi, seguendo una legge di diffusione, dove la resistività del plasma gioca il ruolo di un coefficiente di diffusione: infatti, combinando la legge di Ohm con $\mathbf{v}=0$ , la legge di induzione magnetica, $-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \nabla \times \mathbf{E}$ , e la legge di Ampére $\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf {J}$ si ottiene subito

$\, -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \frac{\eta}{\mu_0} \nabla \times \nabla \times \mathbf B = - \frac{\eta}{\mu_0} \, \nabla^2 \mathbf{B} \,$ .

che è una legge di diffusione, dove il tempo tipico di diffusione è dato da $\tau_{R} = \frac{\mu_0 a^2}{\eta}$ , dove $a$ rappresenta la dimensione tipica del sistema. Il coefficiente $τ R$ svolge un ruolo fondamentale nel caratterizzare i plasmi magnetizzati, ed è noto come tempo di diffusione resistiva o semplicemente tempo resistivo. Le equazioni della MHD ideale sono valide quindi su tempi piccoli rispetto a $τ R$ . Di solito questi tempi sono molto lunghi, per cui la MHD ideale mantiene la sua validità: siccome però la definizione del tempo resistivo implica anche una distanza spaziale, questo significa che su distanze piccole la MHD ideale può venire meno più facilmente che su distanze grandi. Spesso infatti in piccole regioni di plasma, dette resistive layers ("foglietti resistivi"), $τ R$ risulta essere troppo piccolo perché la MHD ideale funzioni.

Nonostante queste regioni siano veramente piccole, esse nondimeno sono sufficienti alla formazione di instabilità note come instabilità tearing, che riescono a rompere e riconnettere le linee di campo magnetico, e quindi a violare le condizioni restrittive sulla topologia che la MHD ideale normalmente impone.

I fenomeni di riconnessione legati alle instabilità di tipo tearing sono normalmente molto distruttivi, perché implicano il rilascio dell'energia magnetica precedentemente accumulata nella configurazione topologica antecedente alla riconnessione: ne sono un esempio i brillamenti o flare solari.

[modifica] Applicazioni

Spaccato dell' esperimento ITER per la fusione termonucleare controllata a confinamento magnetico. [2].

[modifica] Geofisica

Il nucleo fluido della Terra e di altri pianeti è ritenuto produrre, tramite meccanismi interpretabili all'interno della MHD, il campo magnetico terrestre su tempi molto più lunghi del tempo di diffusione resistiva. Questi fenomeni sono noti come dinamo, in analogia alla dinamo in elettrotecnica.

Fenomeni simili alla dinamo sono ritenuti essere molto importanti anche per la dinamica soggiacente alla formazione delle aurore ^[4].

[modifica] Astrofisica

La MHD si applica con una certa facilità in astrofisica, dato che il 99% della materia nell'Universo è costituita da plasma, fra cui le stelle, il mezzo interplanetario (cioè, la regione di spazio fra un pianeta e l'altro), lo spazio interstellare, le nebulose, e i jet relativistici.

Le macchie solari sono causate dai campi magnetici del sole, come fu teorizzato da Joseph Larmor nel 1919. Il vento solare è pure un tipo di plasma governato dalla MHD.

Il cadere della MHD ideale, nella forma di riconnessione magnetica, è alla base della formazione dei brillamenti o flare, le più grandi esplosioni nel sistema solare. Il campo magnetico in una regione solare attiva, corrispondente a una macchia, è responsabile di fenomeni ciclici di riconnessione, accumulando e liberando energia sotto forma di raggi X, radiazione, e rilascio di particelle che formano il vento solare.

[modifica] Ingegneria e fisica della fusione nucleare controllata

La MHD è uno strumento essenziale per potere descrivere i complessi meccanismi che regolano l'equilibrio e la stabilità dei dispositivi di confinamento magnetico all'interno della fusione termonucleare controllata. Questi dispositivi sono un laboratorio unico dove testare modelli interpretativi, poi utilizzati anche in altri ambiti (come l'astrofisica e la geofisica). In modo molto simile al sole, fenomeni in cui la MHD ideale viene meno, cioè i fenomeni di riconnessione magnetica, sono fondamentali nel determinare le proprietà di trasporto nei plasmi magnetizzati per la fusione^[5].

[modifica] Bibliografia

↑ (EN) Biskamp, Dieter. "Nonlinear Magnetohydrodynamics". Cambridge, UK: Cambridge University Press, nuova edizione riveduta, 1997. 392 pagine, ISBN 0521599180.
↑ (EN) Braginskij, S. I., in Reviews of Plasma Physics (Edited by M. A. Leontovich), (Consultants Bureau, New York 1965) vol. I, p. 205.
↑ (EN) Il riferimento per la MHD ideale è J.P. Freidberg, Ideal Magnetohydrodynamics, Plenum Press, New York, 1987.
↑ (EN) Akasofu, S.-I. Exploring the Secrets of the Aurora, Kluwer Academic Publishers, Netherlands, 2002. 246 pagine, ISBN 1402006853 .
↑ (EN) Un articolo riassuntivo dei principali risultati ottenuti nei Tokamak è l'articolo di X. Garbet, Physics of transport in Tokamaks, Plasma Physics and Controlled Fusion, vol.46, p. B557 (2004).

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