アーンショーの定理
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アーンショーの定理(Earnshaw's theorem)は、任意の電荷のない領域において静電場が存在するとき、その領域に荷電粒子をおいた場合、粒子は安定なつり合い状態を維持出来ないというものである。
これは電位φ（スカラー量）が、先の任意の領域で、
の条件（上式はラプラス方程式に相当）を満たす解である時、その領域内で電位φは極大、極小を持たないことによる（但し、領域の境界は除く。また鞍点の存在は可能）。
右辺が値を持つ場合はポアソン方程式と呼ばれ，この場合は領域内でφの極大値が許される。
この定理は、静電場だけでなく静磁場でも成り立つ。
アーンショーの定理を、静電場を使い直感的に証明しよう。
いま、スカラポテンシャル場φがあるとすると任意の点において電場
は
と書ける。考えている領域内のある点でφの極大があったとしよう。 その極大点を取り囲む小さな閉曲面を考える。すると、その閉曲面近くの電場ベクトル は必ず閉曲面を内から外へ貫く。なぜならgradφ(勾配)はφの極大点近傍では極大点に向かうから。 するとGaussの法則、
より、 閉曲面でEを積分した値が正の値をとり、内部には電荷が存在することになり仮定と矛盾する。 （証明終）
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