Convergentie (wiskunde)

Inhoud

1 Convergentie van een rij getallen
- 1.1 voorbeelden
2 Convergentie van een reeks
3 Absolute convergentie
- 3.1 Voorbeelden
4 Convergentietests voor rijen
- 4.1 Sandwichregel
5 Convergentietests voor reeksen

[bewerk] Convergentie van een rij getallen

In de wiskunde convergeert een numerieke rij naar een getal a als er voor elke omgeving van a, hoe klein ook, een natuurlijk getal N bestaat (afhankelijk van de grootte van de omgeving) waarvoor alle termen van de rij vanaf de N^de term behoren tot de gekozen omgeving. Het getal a heet dan de limiet van de rij, en is uniek met die eigenschap.

Wiskundig geformuleerd: voor elke ε>0 bestaat een N(ε) waarvoor geldt dat $\! |a-a_n|<\epsilon$ voor alle n>N.

Convergentie moet worden gezien in relatie tot de beschouwde verzameling waarin het geheel zich afspeelt. Als er een limiet bestaat, echter niet binnen de beschouwde verzameling, dan is er geen sprake van convergentie (zie bijvoorbeeld Cauchyrij).

Een rij die niet convergent is wordt divergent genoemd.

[bewerk] voorbeelden

Een voorbeeld van een convergente rij is:

2, 2 1/2, 2 2/3, 2 3/4, 2 4/5, 2 5/6, 2 6/7, 2 7/8, ...

Enkele voorbeelden van divergente rijen zijn:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...
-1, 2, -1, 2, -1, 2, -1, 2, -1, 2, ...
1, 1/2, 2, 1/3, 3, 1/4, 4, 1/5, 5, 1/6, ...
3, 4, -5, 6, 4, -10, 9, 4, -15, 12, 4, -18, 15, ...

[bewerk] Convergentie van een reeks

Een reeks $\sum_{n=1}^\infty a_n$ is convergent, als de rij ${s k}$ met $s_k = \sum_{n=1}^k a_n$ een convergente rij is (dus als ${s k}$ een eindige limiet heeft voor k gaat naar oneindig). De limietwaarde s wordt dan de 'som' van de reeks genoemd.

Een reeks die niet convergent is, wordt divergent genoemd.

Een voorwaarde voor convergentie van de reeks $\sum_{n=1}^\infty a_n$ is dat de rij gevormd door de losse termen uit de reeks (d.w.z. ${a n}$ ) convergeert naar nul.

[bewerk] Absolute convergentie

Een reeks heet absoluut convergent als de reeks waarvan de algemene term de absolute waarde is van die van de oorspronkelijke reeks, convergent is:

$\sum_{n=1}^\infty \left|a_n\right|<\infty$

Absoluut convergente reeksen zijn convergent. Bovendien verandert de som van de oorspronkelijke reeks niet als de volgorde van de termen gewijzigd wordt. Dit laatste is typisch voor absoluut convergente reeksen. Als een reeks reële getallen convergent, maar niet absoluut convergent is, dan kan door een geschikte wijziging van de volgorde der termen, elke willekeurige reële limiet bereikt worden.

[bewerk] Voorbeelden

Machtreeksen zijn belangrijke voorbeelden van reeksen. Hun convergentie wordt het best geanalyseerd in het complexe vlak, zelfs als de termen allemaal reëel zijn.

De harmonische reeks is convergent, maar niet absoluut convergent:

$1-{1\over2}+{1\over3}-{1\over4}+\ldots$

[bewerk] Convergentietests voor rijen

Een convergentietest is een eenvoudig te controleren voorwaarde op de algemene term van een rij getallen, die garandeert dat de rij convergeert (of juist niet).

[bewerk] Sandwichregel

Stel dat voor de rijen ${a n}$ , ${b n}$ en ${c n}$ geldt dat $a_n \leq c_n \leq b_n$ voor alle n. Als nu de rijen ${a n}$ en ${b n}$ convergent zijn en dezelfde limiet A hebben, dan is ook de rij ${c n}$ convergent met limiet A.

[bewerk] Convergentietests voor reeksen

Een convergentietest is een eenvoudig te controleren voorwaarde op de algemene term van een reeks, die garandeert dat de reeks convergeert (of juist niet).

[bewerk] Majorantenkenmerk

Stel dat er een N $\in$ ℕ bestaat zodanig dat $0 \leq a_n \leq b_n$ voor elke n>N.

Dan geldt dat uit convergentie van de reeks $\sum_{n=1}^\infty b_n$ volgt dat de reeks $\sum_{n=1}^\infty a_n$ convergent is. Tevens geldt dat uit divergentie van de reeks $\sum_{n=1}^\infty a_n$ volgt dat de reeks $\sum_{n=1}^\infty b_n$ divergeert.

[bewerk] Kenmerk van d'Alembert (Test van d'Alembert)

Als de absolute waarde van het quotiënt $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ convergeert naar een waarde r, dan is de reeks convergent als r<1 en divergent als r>1:

$\lim_{n\rightarrow\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = r<1 \quad\Rightarrow\quad \sum_{n=1}^\infty a_n$ is convergent.

Voor r=1 is convergentie onbepaald.

[bewerk] Kenmerk van Cauchy

Voor de n^e-machtswortel uit a_n volgt hetzelfde als voor het kenmerk van d'Alembert:

$\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{a_n} = r<1 \quad\Rightarrow\quad \sum_{n=1}^\infty a_n$ is convergent.

[bewerk] Criterium van Leibniz

Een alternerende reeks, waarvan de absolute waarde van de algemene term convergeert naar nul en elke term in absolute waarde niet groter is dan zijn voorganger, is convergent: