0,(9)
Z Wikipedii
0,(9) (lub 0,999...) - w matematyce jest ułamkiem dziesiętnym nieskończonym.
Wartość liczby 0,(9) nie jest zbliżona do 1, ale jest równa 1. Równość tę można uzasadnić wieloma sposobami, poniżej przedstawiono trzy najprostsze przykłady.
Spis treści |
[edytuj] Dowód ułamkowy
| 0,(1) | = 1⁄9 |
| 9 × 0,(1) | = 9 × 1⁄9 |
| 9 × 1⁄9 | = 1 |
| 0,999… | = 1 |
Jeden z najprostszych dowodów opiera się na mnożeniu ułamków zwykłych i badaniu ich zapisu dziesiętnego:
Jak widać na przykładzie zamieszczonym powyżej, ułamek 
jest równy 0,(1). Mnożąc obie te liczby przez 9, otrzymujemy równanie, które pokazuje, że 0,(9) jest równe dokładnie 1.
[edytuj] Dowód algebraiczny
| x | = 0,(9) |
| 10x | = 9,(9) |
| 10x − x | = 9,(9) − 0,(9) |
| 9x | = 9 |
| x | = 1 |
Innym sposobem wykazania wspomnianych wyżej właściwości jest zbadanie zachowania ułamka dziesiętnego przy określonych operacjach algebraicznych:
Po pomnożeniu liczby 0,(9) przez 10, a następnie odjęciu od otrzymanego wyniku 0,(9) i podzieleniu całości przez 9, wykazujemy istnienie wspomnianej zależności.
[edytuj] Dowód przy pomocy nieskończonego ciągu geometrycznego
0,(9) można przedstawić jako sumę szeregu geometrycznego: 
Korzystając ze wzoru na sumę (
, gdzie | q | < 1), obliczamy wartość 0,(9): 
