Całka krzywoliniowa
Z Wikipedii
Całka krzywoliniowa jest to całka, gdzie obszarem całkowania jest łuk krzywej regularnej (płaskiej lub przestrzennej) od punktu A do B.
[edytuj] Całka nieskierowana
Oznaczenie:
Obliczanie: jeśli krzywa zadana jest równaniami parametrycznymi (jeśli krzywa zadana jest równaniem jawnym, to można wziąć jako parametr)
, to:
![\int\limits_{AB} f(x, y)dl=\int\limits_{t_0}^{t_1} f(x(t), y(t))\sqrt{(x')^2(t)+(y')^2(t)}dt](../../../../math/d/e/2/de23bdbb333b77bf21c0ad5678740ce7.png)
Całka krzywoliniowa w analizie zespolonej rozumiana jest jako:
![\int\limits_{\Gamma} f(z)dz=\int\limits_{\alpha}^{\beta} f(\gamma(t))\gamma'(t)dt](../../../../math/b/5/f/b5fe6ad4d6ff876be1d90bd0592ef261.png)
gdzie:
- krzywa regularna
- ciągła
Własności:
Niech - ciągłe na
- regularna
- Jeśli krzywe
są równoważne, to
, gdzie
- długość krzywej
,
- Jeśli
jest pierwotną funkcji ciągłej w obszarze
, to całka krzywoliniowa wzdłuż dowolnej krzywej zamkniętej regularnej zawartej w
jest równa zero
Twierdzenie
Jeśli jest analityczna w obszarze jednospójnym, to całka wzdłuż dowolnej krzywej regularnej zamkniętej w tymże obszarze jest równa zero.
Twierdzenie całkowe Cauchy'ego dla obszarów wypukłych
Jeśli jest określona w obszarze wypukłym i jest analityczna oraz
jest dowolną krzywą zamkniętą regularną w tym obszarze, to
Wzór całkowy Cauchy'ego
Jeżeli jest analityczna w obszarze
i jeśli
jest krzywą regularną zamkniętą zawartą w
i zorientowaną dodatnio względem wnętrza, taką że jej wnętrze
leży w
, to dla każdego
zachodzi wzór:
![f(z)={1 \over {2\pi i}}\int\limits_C {{f(w)} \over {w-z}}dw.](../../../../math/b/6/b/b6b39ae8c55a8ca37c215b2b9403f61e.png)
Zobacz też residuum
Uogólniony wzór całkowy Cauchy'ego
Niech będzie krzywą regularną zorientowaną dodatnio (względem wnętrza). Jeśli
jest analityczna w obszarze zawierającym
wraz z brzegiem, to zachodzi wzór:
![f^{(n)}(z)={{n!} \over {2\pi i}}\int\limits_C {{f(w)} \over {(w-z)^{n+1}}}dw.](../../../../math/5/b/1/5b1200a779518f2c423b2b014f7f7af4.png)
[edytuj] Całka skierowana
Oznaczenie:
Obliczanie: jeśli krzywa zadana jest równaniami parametrycznymi (jeśli krzywa zadana jest równaniem jawnym, to można wziąć jako parametr)
, to:
![\int\limits_{AB} f(x, y)dl=\int\limits_{t_0}^{t_1} (X(x(t), y(t))x' + Y(x(t), y(t))y')dt](../../../../math/3/8/2/3825c0c395743dd9cc5fb15636d36237.png)