Forma modularna

Z Wikipedii

Forma modularna - w matematyce, funkcja zmiennej zespolonej spełniająca pewien warunek regularności, pewne równanie funkcyjne oraz o ograniczonym wzroście. Formy modularne można rozpatrywać jako daleko posunięte uogólnienie funkcji okresowych. Teoria form modularnych jest bardzo bogata i należy w zasadzie do analizy zespolonej, ale najważniejsze zastosowania te obiekty mają we współczesnej teorii liczb i teorii reprezentacji, tam też ujawniają swoje najgłębsze własności. Formy modularne w naturalny sposób pojawiają się w bardzo wielu gałęziach matematyki, np. w topologii algebraicznej czy teorii strun.

[edytuj] Definicja

Niech $N$ będzie dodatnią liczbą naturalną. Grupa modularna $Γ 0 (N)$ zdefiniowana jest w sposób następujący:

$\Gamma_0(N) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbb Z) : c \equiv 0 \pmod{N} \right\}.$

Niech $k$ będzie dodatnią liczbą naturalną. Formą modularną ciężaru $k$ poziomu $N$ nazywamy funkcję holomorficzną określoną na górnej półpłaszczyznie zespolonej $\mathbb H$ taką, że dla każdego

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Gamma_0(N)$

i dowolnego $z \in \mathbb H$ zachodzi

$f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)$

oraz $f$ jest holomorficzna w ostrzach.

[edytuj] Uwagi

W literaturze matematycznej występuje wiele defincji form modularnych, niektóre z nich różnią się między sobą poziomem ogólności. Nie wykrystalizowała się dotychczas "kanoniczna" definicja formy modularnej. Definicja podana powyżej wydaje się najbardziej ogólną z wielu spotykanych wariantów.

[edytuj] Własności

Łatwo zauważyć (biorąc w definicji $a=b=d=1,\ c=0$ ), że każda forma modularna spełnia równanie

f (z + 1) = f (z)

tak więc można ją rozwinąć w szereg Fouriera. W teorii form modularnych przyjęło się rozważać ten szereg jako szereg Laurenta względem zmiennej $q = e x p (2π i z)$ . Ze względu na warunek holomorficzności, rozwinięcie takie musi mieć skończoną ilość wyrazów przy ujemnych potęgach, przedstawia się więc wzorem:

$f(z)=\sum_{n=-m}^\infty c_n \exp(2\pi inz) = \sum_{n=-m}^\infty c_n q^n$