Gaz Fermiego

Z Wikipedii

Gaz Fermiego, (gaz elektronowy Fermiego, gaz fermionów) jest to model opisujący idealny gaz kwantowy nieoddziałujących fermionów. Jest kwantowomechanicznym odpowiednikiem klasycznego gazu doskonałego dla cząstek podlegających statystyce Fermiego-Diraca. Zachowanie elektronów w metalach i półprzewodnikach, neutronów w gwiazdach neutronowych może być z pewnym przybliżeniem w niektórych sytuacjach opisywane przez idealny gaz Fermiego.

[edytuj] Opis matematyczny

Cząsteczki gazu są w takiej sutuacji opisywane przez statystykę Fermiego-Diraca. Najprostszy hamiltonian dla takich nieoddziałujących fermionów w przestrzeni Focka można zapisać wykorzystując operatory kreacji i anihilacji:

$\hat{H}=\sum_{n}\epsilon_{n}a^{\dagger}_{n}a_{n} = \sum_{n}(E _{n} + \mu)a^{\dagger}_{n}a_{n}$

gdzie

E_n - energia n-tego stanu

ц - potencjał chemiczny

[edytuj] Energia wewnętrzna gazu Fermiego

Do dalszych obliczeń przyjmiemy ц = 0.

Średnia liczba fermionów w gazie Fermiego:

$N = \int\limits _{0} ^{\infty} dE \rho(E) \frac{1}{\exp(\beta E ) + 1}$

Gdzie

$\rho(E) = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}} \sqrt{E}$ - gęstość stanów

m - masa fermionów

h - stała Plancka

V - objętość, w której znajdują się fermiony

$\frac{1}{\exp(\beta E ) + 1}$ - rozkład Fermiego-Diraca

$\beta = \frac{1}{k_{B}T}$ - czynnik Boltzmanna

$N = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}} \int\limits _{0} ^{\infty} dE \sqrt{E} \frac{1}{\exp(\beta E ) + 1}$

Stosując proste podstawienie otrzymujemy:

$N = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}} \beta ^{-\frac{3}{2}} \int\limits _{0} ^{\infty} dx \frac{ x ^{ \frac{1}{2} } }{\exp( x ) + 1}$

Wartością powyższej całki jest funkcja eta Dirichleta od 3/2 razy gamma Eulera od 3/2 $\Gamma \left(\frac{3}{2} \right)\eta \left(\frac{3}{2} \right)$ . Ostatecznie otrzymujemy:

$N = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}} (k _{B}T) ^{\frac{3}{2}}\Gamma \left(\frac{3}{2} \right) \eta \left(\frac{3}{2} \right)$

Prowadząc analogiczne rozumowanie dla średniej wartości energii gazu Fermiego:

$U = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}} \int\limits _{0} ^{\infty} dE \frac{ E^{\frac{3}{2}} }{\exp(\beta E ) + 1}$

Otrzymujemy:

$U = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}} (k _{B}T) ^{\frac{5}{2}} \Gamma \left(\frac{5}{2} \right) \eta \left(\frac{5}{2} \right)$

Podstawiając do powyższego równania wartość N, otrzymujemy:

$U =\frac{5}{2} \frac{ \eta \left(\frac{5}{2} \right) }{ \eta \left(\frac{3}{2} \right) } N k_{B}T \propto N k_{B} T$

Czyli podobnie jak dla gazu klasycznego energia wewnętrzna jest wprost proporcjonalna do temperatury.

[edytuj] Ciśnienie gazu Fermiego

Ciśnienie możemy zdefiniować jako pochodną energii po objętości gazu, otrzymujemy stąd:

$p=\frac{\partial U}{\partial V} = \frac{5}{2} \frac{ \eta \left(\frac{5}{2} \right) }{ \eta \left(\frac{3}{2} \right) } \frac{\partial N}{ \partial V} k_{B}T$