Geometria eliptyczna
Z Wikipedii
Geometria eliptyczna zwana także geometrią sferyczną lub geometrią powierzchni kuli jest szczególnym przypadkiem geometrii Riemanna dla stałej i dodatniej krzywizny. Jest jedną z geometrii nieeuklidesowych.
Odrzucając piąty postulat Euklidesa (postulatu równoległości) mamy dwie możliwości: albo przyjmiemy, że przez punkt nie leżący na danej prostej nie przechodzi żadna prosta rozłączna z daną, albo przyjmiemy, że takich prostych jest więcej niż jedna. Przyjąwszy pierwszą z tych możliwości otrzymamy geometrię eliptyczną. Konsekwencją tego jest przyjęcie aksjomatu postulującego, że każde dwie proste przecinają się w pewnym punkcie a pojęcia równoległości w ogóle tu nie ma. Żeby być precyzyjnym trzeba jeszcze wspomnieć o konieczności przebudowy pojęcia porządku i aksjomatów opisujących ten porządek - proste w tej geometrii stają się topologicznie tożsame z okręgiem. Można to zrobić zastępując relację leżenia między relacją rozdzielania. Warto tutaj jeszcze zaznaczyć, że sam zabieg wymiany aksjomatu Euklidesa na nowy i wymiany relacji leżenia między na relację rozdzielania nie daje automatycznie geometrii eliptycznej - ale "jedynie" geometrię rzutową. Aby geometria rzutowa stała geometrią eliptyczną musi się pojawić w niej metryka lub pojęcie prostopadłości. Na szczęście milcząco przyjmujemy pozostałe pojęcia i aksjomaty geometrii euklidesowej (wsród nich właśnie prostopadłość i przystawanie)
Istnieje kilka modeli geometrii eliptycznej, np. rzutowy. Najprostszym jest model sferyczny. Punktem geometrii eliptycznej w tym modelu jest para dwóch punktów antypodycznych przestrzeni euklidesowej (tzn.leżących po przeciwnych stronach wybranej sfery). Płaszczyzną jest zbiór wszystkich takich par, a prostą zbiór takich par na wielkim kole przecinającym sferę. Jako że każde dwa rózne wielkie koła zawsze przecinają się w punktach antypodycznych, więc każde dwie rózne proste eliptyczne przecinają się dokładnie w jednym punkcie płaszczyzny eliptycznej czyli proste rozłączne nie istnieją. Odcinek, czyli najkrótszy łuk między dwoma punktami to zawsze łuk wielkiego koła. Łuki innych kół nie są odcinkami geometrii sferycznej. Suma kątów w trójkącie sferycznym jest zawsze większa od 180°.
