Granica dolna i górna
Z Wikipedii
Granica dolna (także łac. limes inferior) oraz granica górna (również łac. limes superior) – odpowiednio kres dolny i górny granic wszystkich podciągów danego ciągu.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Granica dolna i górna ciągu (an) definiowane są odpowiednio wzorami
,
.
Jeżeli ciąg posiada granicę dolną oraz górną i są one sobie równe, to posiada także granicę zwykłą równą wspólnej wartości granic dolnej i górnej. Zachodzi także twierdzenie odwrotne: jeżeli ciąg ma granicę, to ma on także granicę dolną oraz górną i są one sobie równe.
Należy mieć na uwadze, że oznaczenia granic dolnej i górnej stanowią jedną całość i nie składają się z oddzielnych oznaczeń oraz
, czy
, co widać w powyższych napisach, gdzie
rozpościera się równo pod całym napisem
lub
, a nie jego pewną częścią. Korzysta się również z symboli
na oznaczenie granicy dolnej oraz
na oznaczenie granicy górnej.
[edytuj] Przykłady
Najprostszym przykładem jest
.
Oczywiście istnieją ciągi, dla których granica dolna jest różna od granicy górnej. Ciągi takie, są oczywiście rozbieżne:
, ale
.
Podobnie
, ale
.
[edytuj] Własności
Dla dowolnych ciągów (an),(bn) prawdziwe są następujące nierówności:
.