Hermitowska miara spektralna

Z Wikipedii

Hermitowska miara spektralna (albo hermitowski rozkład jedynki) - w analizie funkcjonalnej, dokładniej w analizie spektralnej, przeliczalnie addytywna miara wektorowa, określona na σ-ciele zbiorów borelowskich pewnej przestrzeni topologicznej o wartościach w przestrzeni operatorów liniowych i ciągłych pewnej przestrzeni Hilberta, spełniająca określone warunki. Hermitowskie miary spektralne pojawiają się w sformułowaniu twierdzenia spektralnego.

[edytuj] Definicja

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną, $\mathcal{B}(X)$ oznacza σ-ciało zbiorów borelowskich tej przestrzeni oraz $L (H)$ oznacza przestrzeń liniowych i ciągłych operatorów ustalonej przestrzeni Hilberta $H$ .

Funkcję $E\colon \mathcal{B}(X)\to L(H)$ nazywamy hermitowską miarą spektralną w przestrzeni $X$ (albo hermitowskim rozkładem jedynki) wtedy i tylko wtedy, gdy:

$E (B)$ jest operatorem samosprzężonym dla $B\in \mathcal{B}(X)$ .
$E (X) = I$ ,
$E(B_1\cap B_2)=E(B_1)\circ E(B_2),\; B_1, B_2\in \mathcal{B}(X)$
Funkcja $B\mapsto E(B)x,\; x\in H,\; B\in \mathcal{B}(X)$ jest przeliczalnie addytywną miarą wektorową.

[edytuj] Własności

Niech $E\colon \mathcal{B}(X)\to L(H)$ będzie hermitowską miarą spektralną w przestrzeni topologicznej $X$ .

$(E(B)x|x)=\|E(B)x\|^2$ dla $B\in\mathcal{B}(X)$ .
Jeżeli $B_1,B_2\in\mathcal{B}(X)$ są rozłączne, to $E(B_1)H\perp E(B_2)H$ oraz $\|E(\cdot)x\|(X)=\|x\|,\; x\in H$ .
Dla każdej ograniczonej funkcji borelowskiej $g\colon X\to\mathbb{C}$ operator

$\Omega(g)x=\int\limits_Xg(\lambda)E(d\lambda)x$

jest liniowy i ciągły, a jeżeli $g(X)\subseteq\mathbb{R}$ , to także samosprzężony. Ponadto

$\|\Omega(g)\|\leq\sup\{|g(\lambda)|\colon \lambda\in X\},\;\;\|\Omega(g)\|^2=\int\limits_X|g(\lambda)|^2\|E(d\lambda)x\|^2,\; x\in H$

oraz $\Omega(g_1,g_2)=\Omega(g_1)\circ\Omega(g_2)$ dla $g_1,g_2\colon X\to \mathbb{C}$ ograniczonych funkcji borelowskich.

Jeśli $X$ jest zwartą przestrzenią metryczną oraz $E 1, E 2$ są w niej hermitowskimi miarami spektralnymi oraz dla każdych dwóch różnych punktów $\lambda_1,\lambda_2\in X$ istnieje funkcja ciągła $f\colon X\to \mathbb{R}$ , że $f(\lambda_1)\neq f(\lambda_2)$ oraz

$\int\limits_X f(\lambda)E_1(d\lambda)x=\int\limits_X f(\lambda)E_2(d\lambda)x,\; x\in H$ , to

E 1 = E 2

[edytuj] Przykład

Załóżmy, że przestrzeń Hilberta $H$ jest ośrodkowa i nieskończenie wymiarowa. Wtedy istnieje baza ortonormalna $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ tej przestrzeni. Dalej, niech $K\subset\mathbb{R}$ będzie zbiorem zwartym oraz $(\lambda_n)_{n\in\mathbb{N}}$ różnowartościowym ciągiem punktów tego zbioru takim, że: