Kostka Mengera

Z Wikipedii

Kostka Mengera, obraz wygenerowany metodą iteracji IFS

Kostka Mengera, gąbka Mengera – bryła fraktalna, trójwymiarowy odpowiednik zbioru Cantora i dywanu Sierpińskiego. Wymiar fraktalny kostki Mengera wynosi:

log₃20 = ln 20 / ln 3 ≈ 2,726833.

Konstrukcja kostki została podana przez austriackiego matematyka Karla Mengera w roku 1927.

Spis treści

1 Konstrukcja
2 Własności
3 Definicje formalne
- 3.1 Definicja rekurencyjna
- 3.2 Definicja nierekurencyjna
4 Zobacz też
5 Linki zewnętrzne

[edytuj] Konstrukcja

Kostka Mengera powstaje w następujący sposób:

Dany jest sześcian
Tniemy go na 27 sześcianów równej wielkości płaszczyznami równoległymi do ścian
Usuwamy wszystkie sześciany przyległe do środków ścian pierwotnego sześcianu oraz sześcian znajdujący się w jego środku
Do każdego z 20 pozostałych sześcianów stosujemy poprzednią procedurę

Po nieskończonej liczbie powtórzeń opisanych operacji otrzymujemy kostkę Mengera.

Sześcian

1. iteracja

2. iteracja

3. iteracja

4. iteracja

[edytuj] Własności

Każda ściana kostki jest dywanem Sierpińskiego. Przekątna kostki jest zbiorem Cantora. Kostka jest zwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej, a jej miara Lebesgue'a jest równa 0.

[edytuj] Definicje formalne

[edytuj] Definicja rekurencyjna

Precyzyjne określenie kostki Mengera jest następujące:

$M := \bigcap_{n\in\mathbb{N}} M_n$

gdzie M₀ oznacza sześcian {(x,y,z) : 0 ≤ x,y,z ≤ 1}

$M_{n+1} := \left\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3: \ { \exists i,j,k\in\{0,1,2\}: (3x-i,3y-j,3z-k)\in M_n \atop \mbox{ i co najwyzej jedna z liczb }i,j,k\mbox{ jest rowna 1 }} \right\}$

[edytuj] Definicja nierekurencyjna

Kostkę Mengera można też zdefiniować w równoważny sposób nie używając rekurencji:
Kostka Mengera to domknięcie zbioru punktów (x,y,z) takich, że 0 ≤ x,y,z ≤ 1 i w nieskończonych rozwinięciach współrzędnych x,y,z w trójkowym systemie liczbowym nigdzie na tej samej pozycji cyfra 1 nie występuje więcej niż jeden raz.