Kryterium całkowe

Z Wikipedii

Kryterium całkowe – metoda sprawdzania, czy nieskończony szereg liczbowy o nieujemnych wyrazach jest zbieżny. Wczesna forma tego kryterium została odkryta w Indiach przez Madhawę w XIV wieku i jego następców ze szkoły w Kerali. W europie została później odkryta przez Maclaurina i Cauchy'ego i jest czasem nazywana kryterium Maclaurina-Cauchy'ego.

[edytuj] Sformułowanie

Jeżeli funkcja $f\,(x)$ jest dodatnia i malejąca w przedziale $1\le x<+\infty$ i jeżeli $f\,(n)=a_{n}$ to szereg $\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n}$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy całka $I=\int\limits_1^{+\infty}f(x)\,dx$ jest zbieżna.

[edytuj] Dowód

$f\,(x)\le a_k$ dla $k\le x\le k+1$ i $a_k\le f\,(x)$ dla $k-1\le x\le k$ ,

więc $\int\limits_k^{k+1}f(x)\,dx\le a_k\le\int\limits_{k-1}^{k}f(x)\,dx$ dla $k\,=2,3,...$

skąd $a_2 +...+a_n\le\int\limits_1^n f(x)\,dx\le a_1 +...+ a_{n-1}$

czyli $s_n-a_1\le I_n\le s_{n-1}$ .

Jeżeli całka $I\,$ jest zbieżna, to ciąg $(I_n)\,$ jest ograniczony więc i ciąg $(s_n)\,$ jest ograniczony, a przez to zbieżny. Jeżeli całka $I\,$ nie istnieje, to ciąg $(I_n)\,$ , a przez to ciąg $(s_{n-1})\,$ jest rozbieżny.

[edytuj] Przykład

Dowód, że szereg $\sum_{n=m}^\infty {1 \over \left(\prod\limits_{i=0}^{k-1} ln^i(n)\right) \cdot (ln^k(n))^s}$ , gdzie k∈N₀, m>exp^k(0), a f^k(x) oznacza złożenie funkcji jest zbieżny dla s>1 i rozbieżny dla 0<s≤1.

Po pierwsze dla k=0 mamy $\sum_{n=m}^\infty {1 \over n^s}$ , gdzie m>0. Wyrazy tego szeregu są nieujemne i tworzą ciąg malejący, więc można zastosować kryterium całkowe. Zbieżność szeregu jest równoważna zbieżności całki $\int\limits_{m}^\infty {dx \over x^s} = \int\limits_{m}^\infty {x^{-s}} = \left[ {x^{-s+1} \over -s+1} \right]_{m}^\infty = {m^{-s+1} \over -s+1} - \lim_{x \to \infty}~{x^{-s+1} \over -s+1}$ , co ma sens dla -s+1<0, czyli s>1.

W ogólnym przypadku też można zastosować kryterium całkowe, a całka ma postać $\int\limits_{m}^\infty{dx \over \left(\prod\limits_{i=0}^{k-1} ln^i(x)\right) \cdot (ln^k(x))^s}$ . Przez podstawienie y=ln(x) otrzymujemy (dy=dx/x) $\int\limits_{ln(m)}^\infty{dy \over \left(\prod\limits_{i=0}^{k-2} ln^i(y)\right) \cdot (ln^{k-1}(y))^s}$ , czyli całkę dla k-1. Metodą indukcji matematycznej można więc dowieść, że całki są zbieżne wtedy i tylko wtedy, kiedy s>1. Na mocy kryterium całkowego wynika stąd, że również szeregi spełniają ten warunek.