Krzywa łańcuchowa
Z Wikipedii
Krzywa łańcuchowa (linia łańcuchowa) – krzywa płaska, której kształt przyjmuje długi, jednorodny, nierozciągliwy, swobodnie zawieszony na końcach sznur lub łańcuch. Równanie takiej krzywej to
gdzie cosh jest to cosinus hiperboliczny.
Wzór na krzywą łańcuchową jest to uogólniony wzór na cosinus hiperboliczny.
Teoria – problem wyprowadzenia wzoru na krzywą łańcuchową jest jednym z podstawowych problemów rachunku wariacyjnego. Jest to problem znalezienia funkcji która posiada minimalne pole pod krzywą długości (nie pod samą krzywą) tzn. jej energię potencjalną przy stałej długości czyli spełnia minimum dla działania
![I[y(x)]=\int\limits_{a}^{b} y(x) dl + \lambda \int\limits_{a}^{b} dl=\int\limits_{a}^{b} y(x) \sqrt{{\dot y}(x)^2+1}dx + \lambda \int\limits_{a}^{b} \sqrt{{\dot y}(x)^2+1}dx](../../../../math/a/f/3/af3e353918d714db78a815ae8adf62e4.png)
gdzie λ jest wspólczynnikiem Lagrange'a pierwszego rodzaju. Znikanie pierwszej wariacji funkcjonalu I i równanie Lagrange'a:
prowadzi do równania
którego rozwiązaniem jest krzywa łańcuchowa.
Równianie to znalazło zastosowanie m.in. przy projektowaniu napowietrznych linii elektroenergetycznych, gdzie równanie opisuje zwis przewodów pomiędzy dwoma sąsiednimi słupami.
