Liczby Fermata

Z Wikipedii

Liczba Fermata – liczba naturalna postaci , gdzie n jest nieujemną liczbą całkowitą. Nazwano je tak dla upamiętnienia francuskiego matematyka Fermata, który pierwszy badał ich własności.

Spis treści 1 Faktoryzacje liczb Fermata 2 Liczby Fermata a pierwszość 2.1 Liczby Fermata - metoda T.Pépina 2.2 Liczby Fermata - metoda T.Pépina - przykład 3 Wzory rekurencyjne 4 Własności 5 Więcej o liczbach pierwszych Fermata 6 Liczby pierwsze Fermata w geometrii

[edytuj] Faktoryzacje liczb Fermata

Oto siedem kolejnych liczb Fermata:

F₀ = 2¹ + 1 = 3

F₁ = 2² + 1 = 5

F₂ = 2⁴ + 1 = 17

F₃ = 2⁸ + 1 = 257

F₄ = 2¹⁶ + 1 = 65537

F₅ = 2³² + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417

F₆ = 2⁶⁴ + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721

F₇ = 2¹²⁸ + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721

[edytuj] Liczby Fermata a pierwszość

Patrząc na pięć kolejnych liczb Fermat wyraził przypuszczenie, że wszystkie liczby tej postaci są pierwsze, jednak Euler w roku 1732 pokazał, że F₅ = 4294967297 = 641 · 6700417.

Do chwili obecnej jedynymi znanymi liczbami pierwszymi Fermata są właśnie F₀, F₁, F₂, F₃, F₄ i nie wiadomo, czy jest ich więcej.

Zauważmy, że jeżeli liczba 2ⁿ + 1 jest liczbą pierwszą, to n musi być potęgą 2, wobec tego każda liczba pierwsza tej postaci jest liczbą pierwszą Fermata.

[edytuj] Liczby Fermata - metoda T.Pépina

W roku 1877 francuski matematyk Theophile Pépin określił metodę sprawdzania czy konkretna liczba Fermata jest liczbą pierwszą.

Otóż jeśli m = ( F_n - 1 ) / 2 to F_n jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli 3 ^m + 1.

[edytuj] Liczby Fermata - metoda T.Pépina - przykład

• liczba F₂ = 17
• zatem m = 8
• więc 3 ⁸ + 1 = 6562
• 6562 / 17 = 386
• dzieli się zatem bez reszty, co świadczy o pierwszości liczby F₂

[edytuj] Wzory rekurencyjne

Liczby Fermata spełniają następujące zależności rekurencyjne:

• 
• 
• 
• 

dla n ≥ 2.

Najprostszy dowód tych własności polega na zastosowaniu indukcji matematycznej. Z ostatniej z nich wynika twierdzenie Goldbacha:

wszystkie liczby Fermata są względnie pierwsze

Jako natychmiastowy wniosek otrzymuje się stąd dowód faktu, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele – każda liczba Fermata jest albo pierwsza, albo ma dzielnik pierwszy, który nie dzieli żadnej z pozostałych liczb Fermata.

[edytuj] Własności

Kilka dalszych własności liczb Fermata:

• Jeżeli , to (zobacz: kongruencja)
• Jeśli , to .
• Liczba D(n,b) cyfr liczby F_n w pozycyjnym systemie liczbowym o podstawie b jest równa (zobacz: funkcja podłoga)
• Żadna liczba Fermata oprócz F₁ = 5 nie daje się przedstawić jako suma dwóch liczb pierwszych.
• Żadna liczba pierwsza Fermata nie daje się przedstawić jako różnica dwóch p-tych potęg, gdzie p jest liczbą pierwszą większą od 2.

[edytuj] Więcej o liczbach pierwszych Fermata

Dowodząc, że F₅ jest liczbą złożoną, Euler zauważył, że każdy dzielnik liczby F_n musi mieć postać k2ⁿ⁺¹ + 1. Dla n = 5 oznacza to, że jedynie liczby postaci 64k + 1 mogą dzielić F_n; dla biegłych w arytmetyce matematyków XVIII wieku sprawdzenie czy któraś z początkowych liczb tej postaci dzieli F₅ nie było żadnym problemem.

Poniższe problemy dotyczące liczb pierwszych Fermata nadal pozostają otwarte:

• Czy F_n jest liczbą złożoną dla n > 4?
• Czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Fermata?
• Czy istnieje nieskończenie wiele złożonych liczb Fermata?

W chwili obecnej (2004) wiadomo, że dla 5 ≤ n ≤ 32 wszystkie liczby F_n są złożone, jednak ich rozkłady na czynniki pierwsze znane są jedynie dla n ≤ 11. Największą znaną złożoną liczbą Fermata jest F_2478782, a jednym z jej czynników pierwszych jest 3·2^2478785 + 1.

27 sierpnia 2000 roku nestor Sergio de Aranjo Melo stwierdził, że dla n=35563, liczba Fermata ma dzielnik: 357*(2^35567) +1

Poniżej kilka warunków dotyczących równoważnych temu, by dana liczba Fermata była pierwsza.

• Twierdzenie Protha: Niech N = k2^m + 1, gdzie k jest nieparzyste i mniejsze od 2^m. Jeżeli istnieje liczba całkowita a taka, że

to N jest liczbą pierwsza. Na odwrót, jeśli powyższa kongruencja nie zachodzi oraz

(zobacz: symbol Jacobiego)

to N jest liczbą złożoną. Jeżeli N = F_n > 3, to powyższy symbol Jakobiego jest zawsze równy -1.

• Niech n ≥ 3 – n jest liczbą pierwszą Fermata wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby a względnie pierwszej z n, a jest pierwiastkiem pierwotnym mod n wtedy i tylko wtedy, gdy a jest nieresztą kwadratową mod n.
• Liczba Fermata F_n > 3 jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy można ją przedstawić tylko jednym sposobem jako sumę kwadratów dwóch liczb naturalnych:

Stąd nowy dowód, że F₅ nie jest pierwsza, bowiem F₅ = 62264² + 20449². Podobnie, F₆ = 4046803256² + 1438793759².

[edytuj] Liczby pierwsze Fermata w geometrii

Twierdzenie Gaussa-Wantzela mówi, że n-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą postaci 2^kp₁p₂...p_s, gdzie p₁, p₂, ...p_s są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Tak więc, konstruowalny jest pięciokąt foremny (k=0, s=1, p₁=F₁) i sześciokąt foremny (k=1, s=1, p₁=F₀), ale już nie siedmiokąt foremny!