Model Isinga

Z Wikipedii

Model Isinga jest modelem fizycznym opisującym odddziałujące spiny (np. ferromagnetyzm). Jest to uproszczony model Heisenberga.

Spis treści

1 Hamiltonian dla modelu Isinga
2 Namagnesowanie
3 Suma statystyczna w modelu Isinga
4 Model Isinga w jednym wymiarze

[edytuj] Hamiltonian dla modelu Isinga

$H=-J\sum _{<i,j>}S_i S_j - h\sum_i S_i\,$

gdzie

J - całka wymiany

h - energia dipola w zewnętrznym polu B

$S i, S j$ - spiny w i-tym i j-tym węźle

$< i, j >$ - "najbliżsi sąsiedzi"

jeśli J>0 to spiny ułożone są równolegle -ferromagnetyczna całka wymiany
jeśli J<0 to spiny w sąsiednich węzłach są przeciwne

[edytuj] Namagnesowanie

Określmy wartość namagnesowania m jako

$m= {1 \over N} \sum _i \langle S_i \rangle$

Przy czym ferromagnetyzm występuje gdy $m \neq 0$ dla zerowego zewnętrznego pola magnetycznego

Dla ferromagnetyzmu ma miejsce spontaniczne złamanie symetrii, tzn w zerowym zewnętrznym polu magnetycznym układ sam wyróżnia jeden z kierunków

[edytuj] Suma statystyczna w modelu Isinga

$Z = \sum _{S_1, S_2, \ldots , S_N} \exp [ -\beta H (S_1, S_2, \ldots , S_N) ]$

(Aby policzyć średnią z operatora A zależnego od $S_1, \ldots , S_N$ można dodać do hamiltonianu człon $+ α A$ , a następnie policzyć średnią i pochodną w granicy dla $α$ zmierzającym do zera. )

$\langle A(S_1, S_2, \ldots , S_N) \rangle = {1 \over Z } \sum _{S_1, \ldots \S_N} A(S_1, S_2, \ldots , S_N) \exp [ -\beta H (S_1, S_2, \ldots , S_N) ]$

Namagnesowanie jest więc równe:

$m= kT {1 \over N} {\partial \over \partial h} \ln Z = kT {1 \over N} {\partial \over \partial h} \ln \sum _{S_1, \ldots \S_N} A(S_1, S_2, \ldots , S_N) \exp \left [ \beta J \sum _{<i,j>} S_i, S_j + \beta h \sum _i S_i \right ] = kT {1 \over N} {\sum _{S_1, \ldots , S_N} \left [ \exp (- \beta H ) \beta \sum _i S_i \right ] \over Z} = {1 \over N } \sum _i \langle S_i \rangle$

Ostatecznie więc namagnesowanie

$m= {1 \over N} \sum _i \langle S_i \rangle = kT {1 \over N} {\partial \over \partial h} \ln Z$

Gdy J= 0, tzn dla pojedynczego spinu w polu magnetycznym suma statystyczna jest równa:

$Z = \sum _{S_1, \ldots , S_N} \exp(- \beta H) = \sum _{S_1, \ldots , S_N} \exp \left ( \beta h \sum _i S_i \right ) = \left [ \sum _{S_i} \left ( \exp (\beta h S_i ) \right ) \right ] ^N = \left [ \exp (\beta h ) + \exp (- \beta h ) \right ] ^N = \left [ 2 \cosh (\beta h) \right ] ^N$

Dla takiej sumy statystycznej namagnesowanie jest równe

$m = {1 \over N} kT {\partial \over \partial h } \ln \left [2 \cosh \beta h ) \right ] ^N = kT { \left [ \exp (\beta h ) - \exp (- \beta h ) \right ] \over 2 \cosh (\beta h ) } = \tanh (\beta h)$

[edytuj] Model Isinga w jednym wymiarze

W układzie jednowymiarowym nałożone są periodyczne warunki brzegowe

Hamiltonian dla takiego układu:

$H = -J \sum _i S_i S_{i+1} -h \sum _i S_i = -J \sum _i S_i S_{i+1} - {1 \over 2} h \sum _i S_i - {1 \over 2} h \sum _i S_{i+1} = - \sum _i \left ( J S_i S_{i+1} + {1 \over 2} h (S_i + S_{i + 1}) \right ) =$

$= - \left (J s_1 S_2 + {1 \over 2} h (S_1 + S_2) + J s_2 S_3 + {1 \over 2} h (S_2 + S_3) + J s_3 S_4 + {1 \over 2} h (S_3 + S_4) + \ldots + J s_N S_1 + {1 \over 2} h (S_N + S_1) \right ) =$

Statystyczna suma stanów:

$Z= \sum _{S_1, \ldots , S_N} \exp (- \beta H) = \sum _{S_1, \ldots , S_N} \exp \left [\beta \sum _i \left ( J S_i S_{i+1} + {1 \over 2} h (S_i + S_{i + 1}) \right ) \right ] =$

$= \sum _{S_1, \ldots , S_N} \exp \left [\beta \left (J s_1 S_2 + {1 \over 2} h (S_1 + S_2) + J s_2 S_3 + {1 \over 2} h (S_2 + S_3) + J s_3 S_4 + {1 \over 2} h (S_3 + S_4) + \ldots + J s_N S_1 + {1 \over 2} h (S_N + S_1) \right ) \right ] =$

$= \sum _{S_1, \ldots , S_N} \exp \left [\beta \left (J s_1 S_2 + {1 \over 2} h (S_1 + S_2)\right ) \right ] \exp \left [\beta \left (J s_2 S_3 + {1 \over 2} h (S_2 + S_3)\right ) \right ] \exp \left [\beta \left (J s_3 S_4 + {1 \over 2} h (S_3 + S_4)\right ) \right ] \ldots \exp \left [\beta \left (J s_N S_1 + {1 \over 2} h (S_N + S_1)\right ) \right ]=$

$= \sum _{S_1, \ldots , S_N} M_{S_1, S_2} M_{S_2, S_3} \ldots M_{S_N, S_1} = (*)$

gdzie:

$M_{S_1, S_2} = M_{S_2, S_3} = \ldots = M_{S_N, S_1} = M_{S_i, S_{i+1}} = M = \exp \left [\beta \left (J s_i S_{i+1} + {1 \over 2} h (S_i + S_{i+1})\right ) \right ]$

Możliwe sa cztery "warianty" M:

$\begin{matrix} & \begin{matrix} s_i = -1 & s_i = +1\end{matrix}\\ \begin{matrix} s_{i+1} = -1 \\ s_{i+1} = +1\end{matrix} & \begin{bmatrix} e^{\beta (J - h)} & e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J} & e^{\beta (J + h)} \end{bmatrix} \end{matrix}$

Wracając więc do sumy statystycznej

$Z= (*) = Tr (M^N)=Tr(M \cdot M \cdot M \cdot \ldots \cdot M )= (**)$

Macierz M można przedstwić w postaci $M= U^{\dagger} M^D U$ gdzie $M D$ jest macierzą diagonalną, a $UU^{\dagger} =1$

$Z = (**) = Tr (U^{ \dagger } M^D U U^{ \dagger } M^D U U^{\dagger} \ldots M^D U) = Tr (U^{\dagger} (M^D)^N U) = (***)$

$M D$ jest macierzą diagonalną, jest więc postaci:

$M^D = \left ( \begin{matrix} \lambda _1 && 0 \\ 0 && \lambda _2 \end{matrix} \right )$

Natomiast $(M^D)^N = \left ( \begin{matrix} {\lambda _1}^N && 0 \\ 0 && {\lambda _2}^N \end{matrix} \right )$

Wyznaczenie wartości własnych dla M:

$\det M = \det \left ( \begin{matrix} {\exp(\beta J + \beta h) - \lambda} && {\exp (-\beta J)} \\ {\exp (-\beta J )} && {\exp ( \beta J - \beta h) - \lambda} \end{matrix} \right ) = \left ( \exp {(\beta J + \beta h)} - \lambda \right ) \left ( \exp {(\beta J - \beta h)} - \lambda \right ) - \exp (2 \beta J ) =$

$= 2sinh(2β J) - λ2exp(β J)cosh(β h) + λ 2$

$\lambda _1 = \exp (\beta J ) \left [ \cosh (\beta h) + \sqrt {\cosh^2 (\beta h ) - 2 \exp (-2 \beta J) \sinh (2 \beta J) } \right ]$

$\lambda _2 = \exp (\beta J ) \left [ \cosh (\beta h) - \sqrt {\cosh^2 (\beta h ) - 2 \exp (-2 \beta J) \sinh (2 \beta J) } \right ]$

Wybierając największą wartość własną macierzy:

$λ 1 > λ 2$

otrzymujemy że suma statystyczna jest równa:

$Z = (***) = {\lambda _1} ^N + {\lambda _2} ^N = {\lambda _1} ^N \cdot \left ( 1 + \left ( \frac {\lambda _2} { \lambda _1} \right )^N \right )$

Jeśli $λ 2 < λ 1$ to: $\left( \frac {\lambda_2} { \lambda_1} \right)^N <<1$

$Z = {\lambda _1} ^N$

Faza stabilna jest określona przez największą wartość własną. Przejście fazowe (np. między fazą ferro i paramagnetyczną) zachodzi wtedy, gdy zrównują się wartości własne.

Namagnesowanie w takim wypadku jest równe:

$m = \frac {1}{N} kY \frac {\partial} { \partial h} \ln Z = \frac {1}{\beta} \frac {\partial }{\partial h} \ln \exp (\beta h) \cdot \left [ \cosh (\beta h) + \sqrt { \cosh ^2 (\beta h) - 2 \exp (-2 \beta J) \sinh (2 \beta J)} \right ]=$

$= \frac {1}{\beta} \frac {1}{\lambda _1} \exp (\beta J) \cdot \left [ \beta \sinh (\beta h) + \frac {2 \beta \sinh (\beta h) \cosh (\beta h)} {2 \sqrt {\cosh ^2 (\beta h) - 2 \exp (-2 \beta J) \sinh (2 \beta J)}} \right ]=$

$= \frac { \exp (\beta J) \sinh (\beta h) } {\lambda _1} \cdot \left [ \frac {\sqrt {\cosh ^2 (\beta h) - 2 \exp (-2 \beta J) \sinh (2 \beta J)} + \cosh (\beta h)} {\sqrt {\cosh ^2 (\beta h) - 2 \exp (-2 \beta J) \sinh (2 \beta J)}} \right ] =$