Nierówność Jensena

Z Wikipedii

Nierówność Jensena mówi, że jeżeli $f$ jest funkcją wypukłą w przedziale $P\subset\mathbb R$ , to wartość tej funkcji na kombinacji wypukłej elementów przedziału $P$ nie przekracza kombinacji wypukłej wartości funkcji w tych punktach (przy czym obie kombinacje wypukłe mają te same współczynniki).

[edytuj] Twierdzenie

Dla dowolnych liczb $a_1,a_2,\ldots,a_n\in [0,1]$ , nazywanych wagami, spełniających warunek:

$a_1+a_2+\ldots+a_n=1,$

oraz dowolnych liczb

$x_1,x_2,\ldots, x_n\in P$

(gdzie $P\subseteq \mathbb R$ jest przedziałem) i dowolnej funkcji $f$ wypukłej w $P$ , prawdziwa jest nierówność:

$f\left(\sum^n_{i=1}a_ix_i\right)\le \sum^n_{i=1}a_if(x_i),$

którą nazywa się nierównością Jensena. Dla funkcji wklęsłych prawdziwa jest nierówność w przeciwną stronę.

W szczególności dla $a_1=a_2=\ldots =a_n=1/n$ nierówność przyjmuje postać:

$f\left(\frac{\sum^n_{i=1}x_i}{n}\right)\le \frac{\sum^n_{i=1}f(x_i)}{n}$

[edytuj] Dowód

Dowód przeprowadzimy przez indukcję po $n$ , liczbie punktów.

Dla n=1 uzyskujemy tożsamość:

$a_1=1\Rightarrow f(a_1x_1)=f(x_1)=a_1f(x_1)\leq a_1f(x_1)$

Dla n=2 uzyskujemy definicję funkcji wypukłej.

Niech $n\geq 2$ . Założenie indukcyjne jest następujące:

$f\left(\sum_{i=1}^{n} a_ix_i\right) \leq \sum_{i=1}^{n}(a_if(x_i))$

gdzie x_i należą do P oraz $a_1+a_2+\ldots +a_n=1$ .

Teza indukcyjna to:

$f\left(\sum_{i=1}^{n+1} b_i x_i \right) \leq \sum_{i=1}^{n+1} b_i f(x_i))$

gdzie $x i$ należą do P oraz $b_1+b_2+\ldots+b_{n+1}=1$ .

Jeżeli $b n + 1 = 1$ to $b_1=b_2=\dots=b_n=0$ i dowód jest natychmiastowy. Załóżmy teraz, że $b_{n+1}\ne 1$ .

Niech $a_i = \frac{b_i}{1-b_{n+1}}$ dla i nie większych niż n oraz $a n + 1 = b n + 1$ . Zauważmy, że wtedy $b i = a i (1 - a n + 1)$ dla $i \le n$ , a ponadto $a_1 + a_2 + \ldots + a_n = \frac{b_1+b_2+\dots+b_{n}}{1-b_{n+1}}=1$ . Zatem należy udowodnić, że

$f\left((\sum_{i=1}^{n}(1-a_{n+1})a_ix_i)+a_{n+1}x_{n+1} \right) \leq \sum_{i=1}^{n}\left( (1-a_{n+1})a_if(x_i) \right) +a_{n+1}f(x_{n+1})$

Jeśli potraktujemy $(1-a_{n+1}),~a_{n+1}$ jako wagi, to zgodnie z definicją funkcji wypukłej uzyskamy:

$f\left((1-a_{n+1})\sum_{i=1}^{n} (a_ix_i)+a_{n+1}x_{n+1} \right) \leq (1-a_{n+1})f\left( \sum_{i=1}^n a_ix_i \right) +a_{n+1}f(x_{n+1})$

Następnie, zgodnie z założeniem indukcyjnym:

$(1-a_{n+1})f\left( \sum_{i=1}^n a_ix_i \right) +a_{n+1}f(x_{n+1}) \leq (1-a_{n+1})\sum_{i=1}^{n}\left( a_if(x_i) \right) +a_{n+1}f(x_{n+1})$

Z czego bezpośrednio wynika teza indukcyjna:

$f\left((1-a_{n+1})(\sum_{i=1}^{n} a_ix_i)+a_{n+1}x_{n+1} \right) \leq \sum_{i=1}^{n}\left( (1-a_{n+1})a_if(x_i) \right) +a_{n+1}f(x_{n+1})$

co kończy dowód.

[edytuj] Funkcja wklęsła

Aby udowodnić nierówność gdy $f$ jest funkcją wklęsłą, wystarczy zauważyć, że $- f$ jest wtedy funkcją wypukłą:

$f\left(\sum^n_{i=1}a_ix_i\right)\ge \sum^n_{i=1}a_if(x_i),$

$(-f)\left(\sum^n_{i=1}a_ix_i\right)\le \sum^n_{i=1}a_i(-f)(x_i),$

i nierówność dla funkcji wklęsłej $f$ jest równoważna z udowodnioną już nierównością dla funkcji wypukłej $- f$ .

[edytuj] Zastosowania

Korzystając z nierówności Jensena można udowodnić dużą liczbę nierówności. Przykładem jest dowód nierówności o średnich arytmetycznej i geometrycznej. Nierówność ma też wiele zastosowań w fizyce i rachunku prawdopodobieństwa.

[edytuj] Zobacz też

To jest tylko zalążek artykułu związanego z matematyką. Jeśli potrafisz, rozbuduj go.

Amazon - Audible - Barnes and Noble - Everand - Kobo - Storytel

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Nierówność Jensena

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Twierdzenie

[edytuj] Dowód

[edytuj] Funkcja wklęsła

[edytuj] Zastosowania

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach