Obiekt (teoria kategorii)
Z Wikipedii
Obiekt – w teorii kategorii nazwa elementu klasy na której określona jest kategoria.
[edytuj] Definicja
Kategoria to trójka
w której[1]:
jest klasą której elementy nazywamy obiektami,
to funkcja która każdej parze obiektów (A,B) przyporządkowuje zbiór
; elementy tego zbioru nazywamy morfizmami z A do B,
to funkcja która każdej trójce obiektów (A,B,C) przyporządkowuje przekształcenie
-
;
- jeśli
oraz
, to
nazywane jest złożeniem morfizmów α i β i jest też oznaczane przez βα.
Wymaga się też, że dla wszystkich obiektów mamy:
- jeśli
, to
,
- jeśli
oraz
, to
-
- γ(βα) = (γβ)α,
- istnieje morfizm
taki, że każdego obiektu
mamy
-
oraz
.
[edytuj] Przykłady
- W kategorii Set wszystkich zbiorów obiektami są zbiory a morfizmami są funkcje pomiędzy nimi.
- W kategorii Gr wszystkich grup obiektami są grupy a morfizmami są homomorfizmy między grupami.
- W kategorii Ab obiektami są grupy abelowe a morfizmami są homomorfizmy.
- W kategorii VectK obiektami są przestrzenie wektorowe nad ciałem K a morfizmami są odwzorowania K-liniowymi.
- W kategorii Metr obiektami są przestrzenie metryczne a morfizmami są odwzorowania nierozszerzające.
- W kategorii Top obiektami są przestrzenie topologiczne a morfizmami są przekształcenia ciągłe pomiędzy tymi przestrzeniami.
Przypisy
- ↑ Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, ss. 16nn, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.