Obrazy w mechanice kwantowej

Z Wikipedii

W mechanice kwantowej analizując rozwiązania niezależnego od czasu równania Schrödingera operujemy na niezależnych od czasu wektorach stanu $|\psi\rangle$ . Analiza równania Schroedingera zależnego od czasu prowadzi do wektorów stanu zależnych od czasu, jednak jeżeli hamiltonian nie zależy od czasu to jest to prosta zależność postaci:

$|\psi(t)\rangle = e^{\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}|\psi(0)\rangle$

Problem pojawia się, gdy chcemy rozważać operatory zależne od czasu - w tedy zarówno wektory stanów jak i same obserwable zmieniają się w czasie. Aby uprościć analizę tego typu sytuacji rozważa się tzw. obrazy.

[edytuj] Zależność obserwabli od czasu

Aby znaleźć zależność operatora od czasu obliczymy zupełną pochodną po czasie z elementu macierzowego operatora.

$\frac{d}{dt} \langle \phi| \hat{O} |\psi \rangle = \frac{d \langle \phi|}{dt} \hat{O} |\psi \rangle + \langle \phi| \frac{d \hat{O}}{dt} |\psi \rangle + \langle \phi| \hat{O} \frac{d |\psi \rangle}{dt}$

Powyższe równanie nie opisuje naraz zarówno ewolucji wektorów stanu jak i samych obserwabli. Aby możliwe było znalezienie ewolucji tych dwóch układów należy nałożyć dodatkowy (dowolny) warunek na to równanie. W mechanice kwantowej warunek ten postuluje się jako:

$\frac{d}{dt} \langle \phi| \hat{O} |\psi \rangle = \frac{i}{\hbar} \langle \phi|[\hat{H}, \hat{O}]|\psi \rangle + \langle \phi| \frac{\partial \hat{O} }{\partial t} |\psi \rangle$

Powyższe równanie ma charakter postulatu - nie wynika ono z żadnej teorii w mechanice kwantowej. Przyjmijmy, że pochodne stanów $|\phi\rangle$ i $|\psi\rangle$ opisywane są przez następujące równania:

$\frac{d}{dt}|\psi\rangle = - \frac{i}{\hbar} \hat{A}|\psi\rangle$

$\frac{d}{dt}|\phi\rangle = - \frac{i}{\hbar} \hat{A}|\phi\rangle$

Operator $\hat{A}$ jest dowolnie wybranym operatorem hermitowskim. Korzystając z tego możemy obliczyć pochodne wektorów dualnych:

$\frac{d}{dt} \langle \psi| = \frac{i}{\hbar} \langle \psi| \hat{A}$

$\frac{d}{dt} \langle \phi| = \frac{i}{\hbar} \langle \phi| \hat{A}$

Wstawiając otrzymane pochodne do naszego pierwszego wzoru otrzymamy:

$\frac{d}{dt} \langle \phi| \hat{O} |\psi \rangle = \frac{i}{\hbar} \langle \phi| \hat{A} \hat{O} |\psi \rangle + \langle \phi| \frac{d \hat{O}}{dt} |\psi \rangle - \frac{i}{\hbar} \langle \phi| \hat{O} \hat{A} |\psi \rangle$

Porównując powyższy wzór z postulowaną postacią pochodnej elementu macierzowego otrzymujemy:

$\langle \phi| (\frac{i}{\hbar} [\hat{A}, \hat{O}] - \frac{i}{\hbar} [\hat{H}, \hat{O}] + \frac{d \hat{O}}{dt} - \frac{\partial \hat{O}}{\partial t}) |\psi \rangle = 0$

Ponieważ wszytkie elementy macierzowe powyższego operatora się zerują, więc możemy przejść do równości dla operatorów. Otrzymujemy wtedy równanie:

$\frac{d \hat{O}}{dt} = \frac{i}{\hbar} [\hat{H} - \hat{A}, \hat{O}] + \frac{\partial \hat{O}}{\partial t}$

Które opisuje ewolucję czasową obserwabli. Ustalając konkretną postać operatora $A$ otrzymujemy obrazy mechaniki kwantowej.

[edytuj] Obraz Schrödingera

W obrazie Schroedingera przyjmujemy $\hat{A} = \hat{H}$ . Stany kwantowe są opisywane przez równanie:

$\frac{d}{dt}|\psi\rangle = - \frac{i}{\hbar} \hat{H}|\psi\rangle$

Natomiast obserwable mogą zależeć od czasu - ewolucja obserwabli jest opisywana przez równanie:

$\frac{d \hat{O}}{dt} = \frac{\partial \hat{O}}{\partial t}$

z którego wynika, że jeżeli obserwabla nie jest w jawny sposób zależna od czasu to jej operator nie zależy od czasu (jednak wartość średnia może zmieniać się w czasie, ponieważ wektory stanu ewoluują).

[edytuj] Obraz Heisenberga

W obrazie Heisenberga przyjmujemy $\hat{A} = 0$ . Stany kwantowe są opisywane przez równanie:

$\frac{d}{dt}|\psi\rangle = 0$

i nie zależą od czasu. Obserwable natomiast ewoluują zgodnie z równaniem:

$\frac{d \hat{O}}{dt} = \frac{i}{\hbar} [\hat{H}, \hat{O}] + \frac{\partial \hat{O}}{\partial t}$

[edytuj] Obraz Diraca (Oddziaływania)

W obrazie oddziaływania od czasu zależą zarówno operatory jak i stany kwantowe, jednak ich ewolucje są opisywane przez różne hamiltoniany. Jest to związane z tym, że hamiltonian dla układu jest postaci:

$\hat{H}(t) = \hat{H}_{0} + \hat{H}'(t)$