Pochodna cząstkowa

Z Wikipedii

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
Należy w nim poprawić: to nie ma sensu - a to, że się tak to liczy, to inna sprawa.
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdziesz na stronie dyskusji tego artykułu.
Po naprawieniu wszystkich błędów można usunąć tę wiadomość.

Pochodna cząstkowa funkcji wielu zmiennych względem wybranej zmiennej, to "zwykła" pochodna tej funkcji obliczona przy założeniu, że pozostałe zmienne mają ustalone wartości.

Na przykład dla funkcji $f (x, y) = x 3 + 3 x y - y 2$ można obliczyć pochodne cząstkowe względem zmiennych x i y:

$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=f_{x}(x,y)=3x^2+3y$

$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=f_{y}(x,y)=3x-2y$

Zapis $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$ nazywamy symboliką Leibniza, a $f x (x, y)$ - symboliką Lagrange'a

Pochodne wyższych rzędów oblicza się różniczkując znów po dowolnych zmiennych. Pochodne wyższych rzędów obliczane względem zmiennych różnych niż wybrana początkowo nazywamy mieszanymi.

Pochodne czyste

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=f_{xx}(x,y)= \frac{\partial}{\partial x}(3x^2+3y) = 6x$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=f_{yy}(x,y)= \frac{\partial}{\partial y}(3x-2y) = -2$

i pochodne mieszane – różniczkowanie, które było dokonywane jako pierwsze, zapisujemy w symbolice Leibniza jako pierwsze od prawej strony (a w symbolice Lagrange'a od lewej):

$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x,y) = f_{xy}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2+3y) = 3$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y) = f_{yx}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}(3x-2y) = 3$

Uogólnione twierdzenie Schwarza mówi, że jeśli wszystkie pochodne mieszane względem pewnych zmiennych są ciągłe w danym punkcie, ich wartość zależy wyłącznie od tego, względem których zmiennych różniczkujemy i ilokrotnie, natomiast nie zależy od kolejności w jakiej przeprowadza się różniczkowania.

Liczbę zastosowanych różniczkowań nazywamy rzędem pochodnej cząstkowej. Na przykład

$\frac{\partial^2}{\partial x{}\partial y}{f(x,y)}$