Prędkość

Z Wikipedii

Ten artykuł dotyczy definicji prędkości w kinematyce punktu materialnego . Zobacz też: inne znaczenia.

Prędkość to:

wektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianę wektora położenia w jednostce czasu.
skalarna wielkość oznaczająca przebytą drogę w jednostce czasu lub tylko wartość prędkości zwana przez niektórych szybkością.

Jednostka prędkości w układzie SI to metr na sekundę.

Spis treści

1 Definicje prędkości
2 Prędkość w różnych układach współrzędnych
3 Prędkość kątowa
4 Przykłady prędkości w różnych rodzajach ruchów
5 Zobacz też

[edytuj] Definicje prędkości

[edytuj] Prędkość w ruchu po prostej

Dla ruchu wzdłuż prostej prędkość definiuje się jako granicę przyrostów przesunięcia do przyrostu czasu w jakim nastąpił ten przyrost, dla malejących odcinków czasu. Prędkość ta zwana jest prędkością chwilową, w przeciwieństwie do prędkości średniej wyznaczonej na podstawie dłuższego odcinka czasu i drogi.

$v={\mathrm{d}x \over \mathrm{d}t} = \lim_{\Delta t \to 0}{\Delta x \over \Delta t}$

[edytuj] Prędkość średnia wektorowa

Prędkość wektorowa średnia określa szybkość zmiany wektora położenia w dłuższym czasie definiuje się jako:

$\vec v_{s}=\frac{{\Delta}\vec r}{\Delta t}$

Wynikającą z tego zmianę położenia określa wzór:

$\Delta \vec{r}=\vec{v}_{s}\cdot \Delta t$

[edytuj] Prędkość jako wielkość niewektorowa

W wielu przypadkach prędkość rozumiana jest jako stosunek drogi do czasu jej przebycia. Tak jest rozumiana intuicyjnie, a także w wielu problemach fizycznych.

Przy czym droga jest rozumiana jako długość odcinka krzywej (toru), po której porusza się ciało, od punkt początkowego do końcowego ruchu.

Prędkość chwilowa:

$v = \frac {ds} {dt} = |\vec v|$

Prędkość chwilowa niewektorowa jest równa modułowi (wartości) prędkości chwilowej wektorowej.

Prędkość średnia:

$s = \int\limits^{t_1}_{t_0} v(t)\; dt =\int\limits^{t_1}_{t_0}\; ds(t)$

$v_{s}=\frac{s}{t}\ge |\vec v_{s}|$

Średnia prędkość niewektorowa jest większa lub równa modułowi średniej prędkości wektorowej.

[edytuj] Prędkość w różnych układach współrzędnych

[edytuj] Układ współrzędnych kartezjańskich

Trzy składowe prędkości (w przestrzeni) lub dwie (na płaszczyźnie) wyrażone są takimi samymi wzorami jak prędkości w ruchu prostoliniowym, przy czym drogą jest w tym przypadku współrzędna danej osi

$v_{x}=\frac{dx}{dt}\quad \quad v_{y}=\frac{dy}{dt}\quad \quad v_{z}=\frac{dz}{dt}$

Prędkość całkowitą można wyznaczyć z jej składowych

$\vec{v}=[v_{x},v_{y},v_{z}]$

lub z użyciem wersorów osi

$\vec{v}=v_{x}\cdot \vec{i}_{x}+v_{y}\cdot \vec{i}_{y}+v_{z}\cdot \vec{i}_{z}$

Wartość prędkości dana jest wzorem:

$v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}$

[edytuj] Układ współrzędnych biegunowych

W układzie współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie występują dwie składowe prędkości

prędkość radialna, czyli prędkość zmiany długości promienia wodzącego

$v_{r}=\frac{dr}{dt}$

prędkość transwersalna - prędkość zmiany położenia w kierunku prostopadłym do promienia wodzącego

$v_{\varphi }=r\frac{d\varphi }{dt}$

gdzie ${\varphi }\,$ jest kątem mierzonym od ustalonego kierunku.

Prędkość całkowita

$\vec{v}=v_{r}\cdot \vec{i}_{r}+v_{\varphi }\cdot \vec{i}_{\varphi }$

Wartość prędkości całkowitej

$v=\sqrt{v_{r}^{2}+v_{\varphi }^{2}}$

[edytuj] Układ współrzędnych walcowych

Podobnie jak dla współrzędnych biegunowych, tylko dochodzi jedna współrzędna w kierunku osi z : $v_{z}=\frac{dz}{dt}$

Prędkość całkowita

$\vec{v}=v_{r}\cdot \vec{i}_{r}+v_{\phi }\cdot \vec{i}_{\phi }+v_{z}\cdot \vec{i}_{z}$

Wartość prędkości całkowitej

$v=\sqrt{v_{r}^{2}+v_{\phi }^{2}+v_{z}^{2}}$

[edytuj] Układ współrzędnych sferycznych

We współrzędnych sferycznych występują dwie prędkości prostopadłe do promienia

$v_{\phi }=r\frac{d\phi }{dt}$

gdzie ${\phi }\,$ jest kątem mierzonym od ustalonego kierunku np. od osi 0Z

$v_{\theta }=r\sin \phi \cdot \frac{d\theta }{dt}$

gdzie kąt ${\theta }\,$ jest kątem, jaki tworzy rzut wektora wodzącego z ustalonym kierunkiem na płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pierwszej osi (0Z). Tym kierunkiem może być oś 0X.

Prędkość całkowita

$\vec{v}=v_{r}\cdot \vec{i}_{r}+v_{\phi }\cdot \vec{i}_{\phi }+v_{\theta }\cdot \vec{i}_{\theta }$

Wartość prędkości całkowitej

$v=\sqrt{v_{r}^{2}+v_{\phi }^{2}+v_{\theta }^{2}}$

[edytuj] Prędkość kątowa

W ruchach krzywoliniowych definiowana jest prędkość kątowa $\omega =\frac{d\phi }{dt}$ gdzie ${\phi }\,$ jest kątem obrotu wokół pewnej osi ustalonej osi. Traktując ${\phi }\,$ jako kąt skierowany, można przypisać prędkości kątowej kierunek osi obrotu i zwrot zgodny z regułą śruby prawoskrętnej

$\vec{\omega }=\frac{d\vec{\phi }}{dt}$

Tak zdefiniowana prędkość kątowa jest pseudowektorem. Pomiędzy prędkością kątową a prędkością transwersalną zachodzi następujący związek

$\vec{v}_{\phi }=\vec{\omega }\times \vec{r}$

[edytuj] Przykłady prędkości w różnych rodzajach ruchów

Zmiany prędkości są podstawą klasyfikacji ruchów w fizyce.

[edytuj] Prędkość liniowa w ruchu jednostajnym prostoliniowym

Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym jest stała (zarówno jej kierunek i wartość). Przyjmuje się odtąd, że do położenia ciała wystarczy jedna współrzędna x. Każdy ruch prostoliniowy można przez odpowiednie obroty sprowadzić do przypadku jednowymiarowego. Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym określa więc następująca zależność:

$\vec v = \frac {\Delta \vec r}{\Delta t}=\frac{x(T)-x(0)}{T}\hat{i_x}$

$|\vec v|=\frac{x(T)-x(0)}{T}=\frac{S}{T}=\textrm{const}$

Gdzie:

$\vec r(t)$ - wektor położenia jako funkcja czasu t
S - przebyta droga
T - czas trwania ruchu
x(t) - funkcja położenia (skalar) od czasu

[edytuj] Prędkość liniowa w ruchu jednostajnie przyspieszonym

Przyspieszenie $\vec a$ jest stałe i niezerowe, więc prędkość $\vec v$ zmienia się. W ruchu tym także można ograniczyć się do rozpatrywania jednej współrzędnej.

$\vec a = \frac{\Delta \vec v}{\Delta t} \Rightarrow \Delta \vec v = \vec a \Delta t$

$\vec v(T) - \vec v(0) = \vec a T \Rightarrow \vec v(T)=\vec v(0) + \vec a T$

Gdzie:

T - całkowity czas ruchu
$\vec v(t)$ - wektor prędkości jako funkcja czasu.

Czasami (zazwyczaj z powodów dydaktycznych) wyróżnia się specjalny przypadek ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego - ruch jednostajnie opóźniony prostoliniowy. W ruchu tym wektor przyspieszenia $\vec a$ jest stały i skierowany przeciwnie do wektora prędkości - $\vec v(t)$ .