Prawo Gaussa (elektryczność)

Z Wikipedii

Prawo Gaussa dla elektryczności w fizyce zwane również twierdzeniem Gaussa to prawo wiążące pole elektryczne z jego źródłem czyli ładunkiem elektrycznym.

Pole elektryczne jest polem wektorowym, dlatego też zgodnie z twierdzeniem Gaussa-Ostrogradskiego można zdefiniować wielkość zwaną strumieniem natężenia pola: strumień natężenia pola elektrycznego przenikający przez dowolną powierzchnię zamkniętą w jednorodnym środowisku o bezwzględnej przenikalności dielektrycznej ε, jest równy stosunkowi całkowitego ładunku znajdującego się wewnątrz tej powierzchni do wartości tejże przenikalności.

[edytuj] W ujęciu całkowym

Strumień pola elektrycznego Φ przenikający przez zamkniętą powierzchnię S, ograniczającą obszar o objętości V, jest proporcjonalny do ładunku elektrycznego Q_S zawartego w tym obszarze (objętości):

$\Phi=\oint\limits_S\vec E\,d\vec S=\frac 1\varepsilon\int\limits_V\rho\,dV=\frac{Q_S}\varepsilon$

Współczynnikiem proporcjonalności jest współczynnik przenikalności dielektrycznej ośrodka ε (w przypadku próżni ε=ε₀).

Prawo Gaussa można wyrazić prościej – strumień indukcji elektrycznej D przenikający przez zamkniętą powierzchnię S jest równy ładunkowi elektrycznemu Q_S zawartemu w objętości zamkniętej powierzchnią S:

$\oint\limits_S\vec D\,d\vec S=\int\limits_V\rho\,dV=Q_S$

[edytuj] W ujęciu różniczkowym

Dywergencja indukcji pola elektrycznego równa jest gęstości ładunku:

$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho$

Dla materiałów liniowych:

$\nabla \cdot \varepsilon \mathbf{E} = \rho$

gdzie: $\varepsilon$ to przenikalność elektryczna.

[edytuj] Odpowiednik dla grawitacji

Prawo Gaussa dotyczy także pól grawitacyjnych:

$\oint\limits_S\vec g\,d\vec s= -4\pi GM$

Strumień natężenia pola g przez powierzchnię zamkniętą równy jest całkowitej masie zamkniętej przez tę powierzchnię pomnożonej przez -4 $π$ G.

[edytuj] Odpowiednik dla magnetyzmu

Całkowity strumień magnetyczny przechodzący przez powierzchnię zamkniętą równa się zeru. Fakt ten wynika stąd, iż pole magnetyczne jest bezźródłowe - nie istnieją w świecie ładunki magnetyczne, dywergencja pola jest wszędzie równa zero.

$\Phi=\oint\limits_S\vec B\,d\vec S=\oint\limits_V \nabla\cdot\vec B\,d V=0$

[edytuj] Konsekwencje prawa Gaussa

Ze wzoru: $\oint\limits_S\vec E\,d\vec S=\frac{Q_S}\varepsilon$ wynika że pole wektorowe $\vec E$ jest polem źródłowym.

Dla ładunku punktowego q pole ma symetrię sferyczną, dzięki czemu strumień pola w odległości R można zapisać jako:

$\Phi=\oint\limits _S \vec{E}\,d\vec{S} = S _{R} E(R)$

gdzie $S R$ jest powierzchnią kuli w n-wymiarowej przestrzeni. Z powyższego wynika:

$E(R) = \frac{q}{\varepsilon S _{R} }$

Powierzchnia kuli jest równa $4π R 2$ , dlatego:

$E(R) = \frac{q}{4\pi \varepsilon R ^{2}}$

Otrzymane równanie wyraża prawo Coulomba. Dodatkowym wnioskiem z powyższego równania jest to, że jeżeli w prawie Coulomba występuje wykładnik równy dokładnie 2 (co jest wyznaczane eksperymentalnie) to nasza przestrzeń ma dokładnie 3 wymiary. Jest to jedna z niewielu bezpośrednich metod badania "wymiarowości" naszej przestrzeni.

Prawo Gaussa zostało później ujęte w równaniach Maxwella.

[edytuj] Zobacz też

Kategorie: Elektryczność • Magnetyzm • Grawitacja

We provide Linux to the World

Prawo Gaussa (elektryczność)

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] W ujęciu całkowym

[edytuj] W ujęciu różniczkowym

[edytuj] Odpowiednik dla grawitacji

[edytuj] Odpowiednik dla magnetyzmu

[edytuj] Konsekwencje prawa Gaussa

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach