Wikipedysta:Ptok/brudnopis2

Z Wikipedii

Prawo Gaussa dla elektryczności w fizyce zwane również twierdzeniem Gaussa to prawo wiążące pole elektryczne z jego źródłem, czyli ładunkiem elektrycznym.

Spis treści

1 Treść prawa
2 Ujęcie całkowe
3 Przykładowe zastosowania w polu elektrostatycznym
4 Odpowiednik dla grawitacji
5 Odpowiednik dla magnetyzmu
6 Zobacz też

[edytuj] Treść prawa

Treść prawa dla strumienia wektora natężenia pola elektrostatycznego

Strumień natężenia pola elektrycznego $Φ E$ , przenikający dowolną powierzchnię zamkniętą $S$ , w jednorodnym środowisku o przenikalności dielektrycznej $ε$ , jest proporcjonalny do sumarycznego ładunku elektrycznego $Q$ , zawartego wewnątrz tej powierzchni. Współczynnikiem proporcjonalności jest odwrotność przenikalności dielektrycznej:

$\Phi_{E} = \frac{Q}{\epsilon}$

Ze względu na związek między natężeniem pola elektrostatycznego oraz indukcji elektrostatycznej:

$\vec E \cdot \epsilon = \vec D$ ,

prawo to można również sformułować w ujęciu dla strumienia wektora indukcji elektrostatycznej.

Treść prawa dla strumienia wektora indukcji elektrostatycznej

Strumień wektora indukcji elektrostatycznej $Φ D$ , przenikający dowolną powierzchnię zamkniętą $S$ , w jednorodnym środowisku, jest równy sumarycznemu ładunkowi elektrycznemu $Q$ zgromadzonemu w obszarze ograniczonym tą powierzchnią:

Φ D = Q

[edytuj] Ujęcie całkowe

Pole elektryczne jest polem wektorowym (polem wektorów $\vec E$ natężenia pola lub $\vec D$ indukcji pola), zatem zgodnie z twierdzeniem Gaussa-Ostrogradskiego zachodzi zaleźność

$\int\limits_S \vec E \; d \vec S = \int\limits_{V} ~\operatorname{div} \vec E \; d \vec V$ .

Ponieważ:

$~\operatorname{div} \vec E = \frac{\rho}{\epsilon}$

gdzie $ρ$ jest gęstością ładunku elektrycznego, więc:

$\int\limits_S \vec E \; d \vec S = \frac{Q}{\epsilon}$

[edytuj] Przykładowe zastosowania w polu elektrostatycznym

W zastosowaniu najlepiej używać całkowego wyrażenia twiedzenia Gaussa dla strumienia indukcji elektrycznej $D$ , które przyjmuje formę:

$\oint\limits_S\vec D\,d\vec S= Q_{in}$

gdzie przez $Q i n$ będziemy rozumieć ładunek elektryczny wewnątrz obszaru ograniczonego powierzchnią $S$ . Prawo to zastosujemy do obliczenia indukcji elektrycznej (lub natężenia pola) w przypadku przestrzennie rozłożonych ładunków elektrycznych.

[edytuj] Ładunek punktowy

Niech dany ładunek elektryczny $Q$ będzie skupiony w jednym punkcie $O$ . Obliczmy wartość indukcji elektrycznej $D$ w odległości $r$ od punktu $O$ . Ze względu na symetrię sferyczną pola elektrycznego wokół punktu $O$ , zakładamy, że w dowolnym punkcie $P$ w odległości $r$ od punktu $O$ , wektor indukcji elektrycznej $D$ ma stałą wartość - wobec powyższego, napisać możemy:

$\oint\limits_S\vec D\,d\vec S = D \oint\limits_S dS = D \cdot 4 \pi r^{2}$

Stąd wprost z twierdzenia Gaussa otrzymujemy:

$D = \frac{Q}{4 \pi r^{2}}$

lub inaczej:

$E = \frac{1}{\epsilon} \frac{Q}{4 \pi r^{2}}$

gdzie $ε$ jest przenikalnością elektryczną ośrodka w którym umieszczony jest ładunek punktowy.

[edytuj] Jednorodnie naładowana dielektryczna kula

Załóżmy, że dana jest dielektryczna kula o promieniu $R$ , naładowana jednorodnie ładunkiem elektrycznym $Q$ . W przypadku tym rozpatrujemy dwa przypadku - pole wewnątrz jak i na zewnątrz danej kuli. Rozpatrzmy każdy z nich osobno.

[edytuj] Pole elektryczne na zewnątrz kuli

Obierzmy punkt $P$ na zewnątrz kuli, w odległości $r$ ( $r > R$ ). Najprostszą i naturalną powierzchnią jaką możemy wybrać w celu ułatwienia obliczeń jest sfera o promieniu $r$ . Wówczas zgodnie z treścią prawa Gaussa, ładunek elektryczny wewnątrz tej sfery równy jest sumarycznemu ładunkowi elektrycznemu zgromadzonemu w całej objętości kuli, zatem równy ładunkowi $Q$ :

Q i n = Q

Dodatkowo korzystając z własności pola elektrostatycznego (mamy wprost, że strumień indukcji elektrostatycznej dany jest jako:

$\oint\limits_S\vec D\,d\vec S = D \oint\limits_S dS = D \cdot 4 \pi r^{2}$

(ze względu na jednorodne naładowane kuli, pole elektryczne na zewnątrz kuli jest sferycznie symetryczne, wobec czego w dowolnej odległości od środka kuli, wektor indukcji elektrostatycznej ma stała wartość).

Podstawiając otrzymane zależności do twierdzenia Gaussa otrzymujemy:

$D \cdot 4 \pi r^{2} = Q$

a stąd

$D = \frac{Q}{4 \pi r^{2}}$

lub inaczej:

$E = \frac{1}{\epsilon_{K}} \frac{Q}{4 \pi r^{2}}$

gdzie $ε K$ jest przenikalnością elektryczną materiału z którego wykonana jest kula.

[edytuj] Pole elektryczne wewnątrz kuli

W przypadku tym obieramy dowolny punkt $P$ wewnątrz kuli, w odległości $r$ od jej środka ( $r < R$ ). Podobnie jak uprzednio jako powierzchnię gausowską obieramy sferę o promieniu $r$ .

Zdefiniujmy gęstość objętościową ładunku elektrycznego $ρ$ :

$\rho = \frac{Q}{V}$

gdzie $V = \frac{4}{3} \pi R^{3}$ jest objętością kuli. Wówczas ładunek elektryczny $Q i n$ zgromadzony wewnątrz sfery o promieniu $r$ (czyli w objętości $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ ) dany jest jako:

$Q_{in} = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^{3} = Q \cdot \left( \frac{r}{R} \right)^{3}$ .

Z kolei strumień indukcji elektrostatycznej, podobnie jak uprzednio, dany jest jako:

$\oint\limits_S\vec D\,d\vec S = D \oint\limits_S dS = D \cdot 4 \pi r^{2}$

Podstawiając otrzymane zależności do twierdzenia Gaussa otrzymujemy:

$D \cdot 4 \pi r^{2} = Q \cdot \left( \frac{r}{R} \right)^{3}$

a stąd

$D = \frac{Q \, r}{4 \pi R^{3}}$ .

[edytuj] Wnioski

dla punktów wewnątrz kuli ( $r < R$ ) indukcja elektrostatyczna $D$ jest liniową funkcją odległości.
dla punktów na zewnątrz kuli ( $r > R$ ) indukcja elektrostatyczna $D$ wykazuje zależność hiperboliczną względem odległosci.
dla punktów na powierzchni kuli ( $r = R$ ) jest stała i wynosi:

$D = \frac{Q}{4 \pi R^{2}}$ .

[edytuj] Jednorodnie naładowany prostoliniowy przewodnik

Niech dany będzie nieskończenie długi prostoliniowy przewodnik, o bardzo małym przekroju poprzecznym. Załóżmy, że jest on jednorodnie naładowany, w taki sposób, że na długości $L$ tego przewodnika zgromadzony jest ładunek elektryczny $Q$ .

W celu określenia wartości ma indukcja elektrostatyczna w punkcie $P$ znajdującym się w odległości $r$ od tego przewodnika. W przypadku tym jako powierzchnię gausowską obieramy walec o wysokości h, którego oś symetrii pokrywa się z przewodnikiem, natomiast powierzchnia boczna zawiera punkt $P$ .

Wówczas strumień indukcji elektrostatycznej określić możemy jako:

$\oint\limits_S\vec D\,d\vec S = 2 \int\limits_{S_{podstawy}} \vec D\,d\vec S + \int\limits_{S_{boczne}} \vec D\,d\vec S$

gdzie:

strumień przenikający podstawy:

$\int\limits_{S_{podstawy}} \vec D\,d\vec S = 0$

ponieważ $\vec D \cdot \vec S = 0$

strumień przenikający powierzchnię boczną walca:

$\int\limits_{S_{boczne}} \vec D\,d\vec S = D \cdot 2 \pi r h$

ponieważ $\vec D \cdot \vec S = D \cdot S$ gdzie $S$ jest polem powierzchnię boczną walca

W celu określenia jaki ładunek elektryczny zgromadzony jest wewnątrz walca, zdefiniujmy gęstość liniową ładunku elektrycznego jako:

$\tau = \frac{Q}{L}$ .

Wówczas wewnątrz walca, zawierającego długość $h$ przewodnika, znajduje się ładunek elektryczny o wartości:

$Q_{in} = \tau \cdot h = Q \cdot \frac{h}{L}$ .

Podstawiając otrzymane zależności do twierdzenia Gaussa mamy:

$D \cdot 2 \pi r h = Q \cdot \frac{h}{L}$ ,

a stąd:

$D = \frac{Q}{2 \pi r L}$ .

[edytuj] Jednorodnie naładowana płaszczyzna

[edytuj] Odpowiednik dla grawitacji

Prawo Gaussa odnieść można również do pola grawitacyjnego. W przypadku tego pola, źródłem pola są masy. Odpowiednik prawa Gaussa dla pola grawitacyjnego przyjmuje postać:

$\oint\limits_{S} \vec \gamma \; d\vec S = -4 \pi G M$ ,