Rozkład chi

Z Wikipedii

Niektóre informacje zawarte w artykule wymagają weryfikacji.
Do weryfikacji: Na en-wiki pod tą nazwą jest inny rozkład

Wykres funkcji gęstości

Wykres dystrybuanty

Brak wykresu

Charakterysyka

Typ rozkładu:	ciągły
Parametry rozkładu:	A, B, ν
Wartość oczekiwana:	$A + \frac{\sqrt{2} B \Gamma \left( \frac{\nu + 1}{2} \right)}{\Gamma \left( \frac{\nu}{2} \right)}$
Wariancja:	$B^2 \left[ \nu - \frac{2 \Gamma^2 \left( \frac{\nu + 1}{2} \right)}{\Gamma^2 \left( \frac{\nu}{2} \right)} \right]$
Moda:	$A + B \sqrt{\nu - 1}$
Mediana:	patrz artykuł
Skośność:	patrz artykuł
Kurtoza:	patrz artykuł

Rozkład chi (zapisywany jako rozkład χ) to rozkład prawdopodobieństwa typu ciągłego.

Funkcja prawdopodobieństwa tego rozkładu dana jest wzorem:

$f(x) = \frac {\left( \frac{x-A}{B} \right)^{\nu - 1} e^{- \frac{1}{2} \left( \frac{x-A}{B} \right)^2} } {2^{ \frac{\nu}{2} - 1} B \Gamma \left( \frac{\nu}{2} \right)}$

gdzie A, B, ν to parametry rozkładu, zaś Γ oznacza funkcję gamma.

Parametr ν nazywany jest liczbą stopni swobody rozkładu, musi być liczbą większą od 0.

Dystrybuanta funkcji prawdopodobieństwa tego rozkładu ma postać:

$F(x) = \Gamma \left( \frac{\nu}{2}, \frac{1}{2} \left( \frac{x-A}{B} \right)^2 \right)$

Własności:

Jeśli zmienna losowa X ma rozkład chi-kwadrat, to zmienna losowa $\sqrt {X}$ ma rozkład chi.
Mediana nie może być wyrażona za pomocą funkcji elementarnych, natomiast skośność i kurtoza wyrażają się wzorami:

Skośność:

$\frac{\sqrt{2} \left[ 4 \Gamma^3 \left( \frac{\nu + 1}{2} \right) + \Gamma^2 \left( \frac{\nu}{2} \right) \left( 2 \Gamma \left( \frac{\nu + 3}{2} \right) - 3 \nu \Gamma \left( \frac{\nu + 1}{2} \right) \right) \right] }{\Gamma^3 \left( \frac{\nu}{2} \right) \left[ \nu - \frac{2 \Gamma^2 \left( \frac{\nu + 1}{2} \right)}{\Gamma^2 \left( \frac{\nu}{2} \right)} \right]^{\frac{3}{2}}}$

Kurtoza:

$\frac{2 \nu (1-\nu) \Gamma^4 \left( \frac{\nu}{2} \right) - 24 \Gamma^4 \left( \frac{\nu+1}{2} \right)} {\left[ \nu \Gamma^2 \left( \frac{\nu}{2} \right) - 2 \Gamma^2 \left( \frac{\nu+1}{2} \right) \right]^2} +$

$+ \frac{8 (2 \nu - 1) \Gamma^2 \left( \frac{\nu}{2} \right) \Gamma^2 \left( \frac{\nu + 1}{2} \right)} {\left[ \nu \Gamma^2 \left( \frac{\nu}{2} \right) - 2 \Gamma^2 \left( \frac{\nu+1}{2} \right) \right]^2}$