Styczna

Z Wikipedii

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
Po naprawieniu wszystkich błędów można usunąć tę wiadomość.

Konstrukcja stycznej do krzywej

Znana z geometrii szkolnej definicja stycznej do okręgu: jest to prosta, która ma z okręgiem tylko jeden punkt wspólny, nie daje się tak prosto sformułować w przypadku krzywych dowolnych. Precyzyjne określenie stycznej wymaga wykorzystania pojęcia pochodnej funkcji.

Prosta styczna s do krzywej K w punkcie P jest to prosta, która jest granicznym położeniem siecznych s_k przechodzących przez punkty P i P_k gdy punkt P_k dąży (zbliża się) do punktu P po krzywej K (zob. rysunek).

Niech punkt Q będzie rzutem punktu P na oś x i niech styczna s przecina oś x w punkcie R zaś prosta n będąca normalną do krzywej K przecina oś x w punkcie T. Odcinek skierowany RQ nazywa się podstyczną, zaś odcinek skierowany QT - podnormalną. Długość |PR| nazywa się długością stycznej zaś |PT| - długością normalnej.

Jeśli krzywa K określona jest w pewnym przedziale [a, b] funkcją y=f(x) ciągłą, która posiada w tym przedziale określoną pierwszą pochodną f' to równanie siecznej przechodzącej przez punkt stały P(x₀,y₀), gdzie y₀ = f(x₀) oraz punkt zmienny P(x_k,y_k), gdzie y_k = f(x_k) ma postać:

$y-y_0=\frac{y_k-y_0}{x_k-x_0}(x-x_0)\,\!$ .

zaś równanie stycznej do tej krzywej w punkcie P(x₀,y₀) ma postać:

$y-y_0 = f'(x_0)(x-x_0)\,\!$ .

Wówczas odcięte punktów Q, R, T są odpowiednio równe: $x_0,\ x_0-{{y_0}\over{f'(x_0)}},\ x_0+y_0f'(x_0)\,\!$

Długość stycznej określa wówczas wzór: $|PR|=\left|{y_0\over{f'(x_0)}}\right| \sqrt{1+(f'(x_0))^2}$ zaś długość normalnej: $|PT|=\left|y_0\right| \sqrt{1+(f'(x_0))^2}$

Podstyczna $|RQ|=\left|{y_0\over{f'(x_0)}}\right|$ zaś podnormalna: $|QT|=\left|y_0f'(x_0)\right|$

W podobny sposób definiuje się styczną do powierzchni. Wówczas należy najpierw określić kierunek szukanej stycznej i wyznaczyć w powyższy sposób styczną do krzywej powstałej z przecięcia danej powierzchni z płaszczyzną zawierającą wybrany kierunek.

[edytuj] Szkolna definicja stycznej

Zgodnie z intuicyjną definicją stycznej, której uczy się w szkole, styczna do okręgu jest to prosta posiadająca tylko jeden punkt wspólny z okręgiem. Nie można tej definicji uogólnić na dowolną krzywą, nawet wprowadzając dodatkowy warunek, że prosta ta musi być równoległa do małego wycinka krzywej w tym punkcie. Wynika to z faktu, iż styczna do krzywej w jednym punkcie może przecinać ją w innych punktach (w szczególnym przypadku styczną do prostej jest ta sama prosta, zatem obie mają wszystkie punkty wspólne).