Twierdzenie Radona-Nikodyma

Z Wikipedii

Twierdzenie Radona-Nikodyma - twierdzenie teorii miary mówiące o reprezentacji pewnych σ-addytywnych funkcjonałow na przestrzeniach mierzalnych. Twierdzenie sformułowane przez Johanna Radona zostało uogólnione przez Otto Nikodyma w 1930 roku.

Dawid Fremlin^[1] opisuje to twierdzenie oraz środki techniczne potrzebne do jego dowodu jako znajdujące się wśród sześciu najważniejszych wyników teorii miary.

Spis treści

1 Umowa i podstawowe definicje
2 Twierdzenie Radona-Nikodyma
- 2.1 Własności
- 2.2 Twierdzenie o zamianie miary
3 Przypisy
4 Bibliografia
5 Zobacz też

[edytuj] Umowa i podstawowe definicje

W niniejszym artykule $Ω$ jest dowolnym zbiorem a $\mathcal{A}$ jest σ-ciałem jego podzbiorów. Na σ-ciele $\mathcal{A}$ ustalone są z kolei pewne funkcje $\mu, \nu\colon \mathcal{A}\longrightarrow \mathbb{R}$ .

Powiemy że funkcja $ν$ jest σ-addytywna, jeśli dla każdego ciągu parami rozłącznych zbiorów $A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{A}$ mamy $\nu\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n \right) = \sum_{n=1}^\infty \nu(A_n)$ .
Jeśli $μ$ jest miarą oraz $ν$ jest σ-addytywną funkcją zbiorów, to mówimy, że $ν$ jest bezwzględnie ciągła względem $μ$ , gdy

$\mu(A)=0 \Rightarrow \nu(A)=0$ dla $A\in \mathcal{A}$ .

[edytuj] Twierdzenie Radona-Nikodyma

Niech $ν$ będzie σ-addytywną funkcją zbiorów oraz $μ$ będzie miarą σ-skończoną. Jeśli $ν$ jest bezwzględnie ciągła względem $μ$ , to istnieje taka funkcja $h\in L^1(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ (zob. przestrzeń L^p), że dla $A\in\mathcal{A}$

$\nu(A)=\int\limits_A h d\mu$ .

Funkcja $h$ wyznaczona $μ$ -prawie wszędzie, nazywana jest pochodną Radona-Nikodyma funkcji $ν$ względem $μ$ i oznaczana jest symbolem

$h=\tfrac{d\nu}{d\mu}$ .

[edytuj] Własności

Jeżeli $\lambda\colon \mathcal{A}\to\mathbb{R}$ jest σ-addytywną funkcją zbiorów bezwględnie ciągłą wobec $μ$ oraz $\lambda \leq \nu$ , to

$\tfrac{d\lambda}{d\mu}\leq \tfrac{d\nu}{d\mu}$ ,
$\tfrac{d(a \lambda + b \nu)}{d\mu}=a\tfrac{d\lambda}{d\mu}+b\tfrac{d\nu}{d\mu}$

o ile $a\lambda, b\nu>-\infty$ stale lub $a\lambda, b\nu<+\infty$ stale dla liczb rzeczywisych $a, b$ .

[edytuj] Twierdzenie o zamianie miary

Pod założeniami twierdzenia Radona-Nikodyma, jeżeli $A\in\mathcal{A}$ oraz $f\in L^1(A, \mathcal{A}|_A, \nu)$ , to $f\tfrac{d\nu}{d\mu}\in L^1(A, \mathcal{A}|_A, \mu)$ oraz

$\int\limits_Af d\nu=\int\limits_A f \tfrac{d\nu}{d\mu}d\mu$ .

Przypisy

↑ Fremlin, David H.: Measure Theory. T. 2: Broad Foundations. Torres Fremlin, s. 107. ISBN 0-9538129-2-8. "The Radon-Nikodym theorem must be on any list of the half-doze most important theorems of measure theory, and not only the theorem itself, but the techniques necessary to prove it, are at the heart of the subject". [1]

[edytuj] Bibliografia

Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, ss. 202-207.

[edytuj] Zobacz też

rozkład Hahna
twierdzenie Riesza-Skorochoda

Kategoria: Teoria miary

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Twierdzenie Radona-Nikodyma

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Umowa i podstawowe definicje

[edytuj] Twierdzenie Radona-Nikodyma

[edytuj] Własności

[edytuj] Twierdzenie o zamianie miary

Przypisy

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach