Twierdzenie Szarkowskiego

Z Wikipedii

Twierdzenie Szarkowskiego - twierdzenie podane w 1964 r. przez ukraińskiego matematyka Aleksandra Mikołajewicza Szarkowskiego dotyczące występowania punktów okresowych dla ciągłych funkcji prostej rzeczywistej. Twierdzenie to jest również uogólnieniem twierdzenia Li-Yorke'a z 1975 r.

[edytuj] Porządek Szarkowskiego

Porządek Szarkowskiego to porządek w zbiorze liczb naturalnych $\mathbb{N}=\{1, 2, \ldots\}$ , oznaczany $\triangleleft$ , w którym najmniejszą liczbą jest 3 a największą 1:

$\begin{array}{lllll} 3 &\triangleleft{}\ 5 &\triangleleft{}\ 7 &\triangleleft{}\ 9 &\triangleleft\ \ldots \\ 3\cdot{}2 &\triangleleft{}\ 5\cdot{}2 &\triangleleft{}\ 7\cdot{}2 &\triangleleft{}\ 9\cdot{}2 &\triangleleft\ \ldots \\ 3\cdot{}2^2 &\triangleleft{}\ 5\cdot{}2^2&\triangleleft{}\ 7\cdot{}2^2&\triangleleft{}\ 9\cdot{}2^2&\triangleleft\ \ldots \\ \quad\vdots &\quad\vdots &\quad\vdots &\quad\vdots &\quad\vdots \\ \ldots &\triangleleft{}\ 2^3 &\triangleleft{}\ 2^2 &\triangleleft{}\ 2^1 &\triangleleft{}\ 1 \\ \end{array}$

[edytuj] Twierdzenie Szarkowskiego

Niech $f\colon J\to \mathbb{R}$ będzie funkcją ciągłą, a $J\subseteq{}\mathbb{R}$ to domknięty odcinek lub cała prosta $\mathbb{R}$ . Jeśli $f$ ma punkt okresowy o okresie $k$ oraz $k\triangleleft{}l$ w porządku Szarkowskiego, to $f$ ma punkt okresowy o okresie $l$ .

[edytuj] Idea dowodu

Zawiły dowód podany przez Szarkowskiego w 1964 roku był wielokrotnie upraszczany. Nowoczesny dowód używa niżej zdefiniowanego pojęcia A-grafu.

[edytuj] A-graf

Powiemy, że przedział $I$ nakrywa przedział $J$ przy funkcji $f$ , gdy $f(I)\supseteq{}J$ . Niech $x$ będzie punktem okresowym o okresie $n > 1$ i orbicie $\{x_1, x_2, \dots, x_n\}$ uporządkowanej następująco: $x_1 < x_2 < \dots < x_n$ . Oznaczmy przedziały $I k = [x k, x k + 1]$ dla $k = 1.. n - 1$ . Graf o wierzchołkach $I_1, I_2, \dots, I_{n-1}$ nazywamy A-grafem. Krawędź $I_j\rightarrow{}I_k$ występuje w A-Grafie, gdy przedział $I j$ nakrywa $I k$ .

[edytuj] Tworzenie orbit za pomocą A-grafu

Niech $J_1 \rightarrow J_2 \rightarrow \ldots \rightarrow J_n \rightarrow J_1$ będzie cyklem w A-grafie. Jeśli nie jest to cykl, który jest prostym złożeniem innych cykli, to istnieje podprzedział $K \subseteq J_1$ taki, że $f^s(K) \subseteq J_k$ dla $s = 1, 2 \dots, n-1$ oraz $f^n(K) \ne J_1$ .

[edytuj] Szkic dowodu

Mając dany punkt okresowy $x 1$ i jego orbitę $x_1, \ldots, x_n$ , tworzymy dla niego $(n - 1)$ -wierzchołkowy A-graf. Aby pokazać istnienie punktu okresowego o okresie $k$ , znajdujemy nietrywialny cykl długości $k$ .

[edytuj] Uogólnienie na wyższe wymiary

Twierdzenie Szarkowskiego nie zachodzi w wymiarach wyższych niż 1. Kontrprzykład: niech $T\colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ będzie obrotem o kąt $90^{\circ}$ wokół punktu $(0,0)$ . Przekształcenie $T$ ma dokładnie jeden punkt stały $(0,0)$ , a wszystkie pozostałe punkty są okresowe o okresie $4$ .

[edytuj] Referencje

L.S. Block, W.A. Coppel, Dynamics in One Dimension, Lecture Notes in Mathematics, tom 1513, 1992, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg. Zawiera nietrudny dowód twierdzenia Szarkowskiego bazujący na A-Grafach.

Kategorie: Twierdzenia matematyczne • Teoria układów dynamicznych

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Twierdzenie Szarkowskiego

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Porządek Szarkowskiego

[edytuj] Twierdzenie Szarkowskiego

[edytuj] Idea dowodu

[edytuj] A-graf

[edytuj] Tworzenie orbit za pomocą A-grafu

[edytuj] Szkic dowodu

[edytuj] Uogólnienie na wyższe wymiary

[edytuj] Referencje

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach