Wikipedysta:Wlod/Matematyka
Z Wikipedii
Spis treści |
[edytuj] Wstęp
Matematyka – gr. μαθηματικη' (mathematiká), od μαθημα (wiedza, nauka).
Zakres matematyki stale się poszerza. Natomiast styl matematyczny jest ten sam w czasie i w przestrzeni matematyki, choć z czasem dojrzewa. Dlatego matematykę bardziej definiuje styl niż zakres. Cechy stylu matematycznego występują też w całej nauce, ale w matematyce szczególnie silnie, dla matematyki są one charakterystyczne.
[edytuj] Pełnia
Matematycy dążą do pełni wyników i pojęć (pełnia rozumiana jest w ramach kolejnego etapu, gdyż wszystko może być rozwijane bez końca).
Dążenie do pełni jest jedną z cech matematyki, a pełnia – piękna.
[edytuj] Pstryczki i żarówka
Dla ilustracji, rozpatrzmy systemy złożone ze skończonej liczby pstryczków (każdy ma dwie pozycje) i żarówki, która się świeci albo nie, wyłącznie w zależności od pozycji pstryczków.
Zamiast wyjaśniać taki system w terminach praktycznych, od razu przejdźmy do ujęcia matematycznego. Dwie pozycje każdego pstryczka raz na zawsze oznaczamy przez 0 oraz 1 (wszystko jedno która pozyja będzie jak oznaczona, byle oznaczyć je raz, i już tego nie zmieniać). Podobnie dwa stany żarówki – pali się lub nie – też oznaczamy przez 0 oraz 1, wszystko jedno jak, więc umówmy się, że 0 oznacza ciemność, a jasność niech będzie oznaczona przez 1.
Wtedy konfiguracja n pstryczków tworzy ciąg uporządkowany:
gdzie każde xk jest 0 lub 1. Zbiór wszystkich konfiguracji n pstryczków oznaczamy symbolem:
Wystarczy zapamiętać symbol po lewej stronie. Obie strony oznaczają to samo: zbiór wszystkich konfiguracji n pstryczków; technicznie, po prawej stronie wystąpiła n-ta potęga kartezjańska zbioru 2-elementowego 
.
Każdy system z pstryczków i żarówki będziemy identyfikować z funkcją
która daje wartość 1 dla danej konfiguracji wtedy i tylko wtedy, gdy żarówka się przy tej konfiguracji pali, a w przeciwnym wypadku wartość funkcji jest 0. Takie funkcje nazywamy boole'owskimi (patrz George Boole).
W (fikcyjnej) encyklopedii inżynieryjnej mógłby się znaleźć opis historii takich systemów, typu (fikcja): Wszystkie systemy z liczbą pstryczków nie przekraczającą 12 są skrzętnie odnotowane; w roku 1912 skatalogowano 62 systemy, w 1948 już 460, a w roku 2006 aż 14400, i trudno sobie wyobrazić, że będzie ich więcej. Tymczasem matematyk chce wiedzieć ile w ogóle może być takich systemów, potencjalnie, bez względu na to, czy były w rzeczywistości skonstruowane. Zauważy więc najpierw, że liczba różnych konfiguracji n pstryczków wybosi 2n. Zatem liczba różnych systemów o dokładnie n pstryczkach wynosi 22n. Matematyk uzyskał pełny wynik (co w danym wypadku było moźliwe, a nawet łatwe).
Pierwsze wartości wynoszą:
| liczba pstryczków n | liczba systemów s(n) := 22n |
|---|---|
| 0 | 2 |
| 1 | 4 |
| 2 | 16 |
| 3 | 256 |
| 4 | 65536 |
| 5 | 4294967296 |
Już s(5) jest większe od czterech miliardów. Liczba s(12) = 24096 jest większa od 10^1200, a liczba s(30) jest tak ogromna, że gdyby cały fizyczny świat składał się z 30-pstryczkowych systemów, to zawierałby tylko znikomą część wszystkich możliwych.
Już proste policzenie możliwych systemów pokazuje, że nawet przy niewielkiej liczbie pstryczków, jak 5, katalogowanie systemów traci sens. Zdawałoby się, że z powodu super astronomicznej liczby systemów, można cokolwiek powiedzieć tylko o nielicznych z nich. Jednak jest możliwym podać istotną informację o wszystkich lub o wielkich klasach systemów. Jest to jedna więcej specjalność matematyki – matematyka oddycha nieskończonością.
[edytuj] Co zaliczyć?
Sposoby, w jaki rachują systemy wyimaginowany inżynier (nie przejmujący się matematyką) i matematyk, mogą się różnić.
Stereotypowy inżynier pominie kompletnie systemy o zero pstryczkach, bo coś tak fikcyjnego nawet mu nie wpadnie do głowy. Ponadto zignoruje jako trywialne systemy, w których żarówka nigdy nie świeci się, lub na odwrót – gdy zawsze świeci się, niezależnie od konfiguracji pstryczków. Po prostu szkoda miejsca w katalogach na takie systemy. Podobnie, system o 5 pstryczkach, w którym świecenie się żarówki nie zależy nigdy od stanu jednego z pstryczków, inżynier – w przeciwieństwie do matematyka – uzna za system 4-pstryczkowy. Matematyk natomiast od swoich pojęć wymaga pełności. Dzięki temu prostsze jest dedukowanie ich własności, gdyż jedne systemy opisują drugie, więc matematyk nie chce żadnych dziur w ich kolekcji. W szczególności liczba konfiguracji zachowuje się wtedy regularnie, na przykład:
-
-
- s(n+1) = (s(n))2
-
dla każdego n = 0 1 ...
Z drugiej strony, inżynier bardzo sensownie będzie uważał system otrzymany z danego przez zamianę dwóch pstryczków za ten sam, bo nie ważnym jest który pstryczek uważamy za pierwszy, a który za drugi. matematyk jak najbardziej zgodzi się z takim podejściem i wprowadzi relację równoważności pomiędzy systemami. Zauważy też, że w dalszym ciągu, mimo poważnej zdawałoby się redukcji liczby systemów (bo równoważne traktujemy jako jeden), ich liczba przy 30 pstryczkach dalej jest fizycznie tak ogromna, że aż absurdalna. W terminach super-wielkich liczb, rząd liczby systemów zmniejszył się niewiele. Jednak tym razem dokładne policzenie liczby klas równoważności jest rudnym problemem naukowym, któremu poświecone są publikacje. Ten prosty zdawałoby się problem zawiera szereg innych pasjonujących problemów, jako specjalne przypadki. Uwagi temu zagadnieniu w sumie poświęcono niewiele, gdyż z jednej strony jest trudny, a z drugiej – nie wydaje się być aż tak ważny, jest wiele innych problemów, które (słusznie lub nie) wydają się być jeszcze bardziej atrakcyjne.
Podsumowująć, mieliśmy pierwszy przykład
- pełnego pojęcia, mianowicie systemu zdefiniowanego jako dowolna funkcja boole'owska
(a nie jako funkcje, które mają praktyczny sens);
- pełnego wyniku – policzenie s(n).
Widzieliśmy też na podanym przykładzie, że zawsze możliwe są wariacje i kontynuacje.
Uwaga Dobrzy inżynierzy często są także dobrymi matematykami, bywa że wybitnymi.
[edytuj] Abstrakcja
[edytuj] Uwagi ogólne
Powiedzmy, że matematyk przyjął swój model systemu z pstryczków i żarówki; powiedzmy, że jak wyżej, za model uznał funkcję boole'owską. W tym momencie pedant zauważy, że pstryczek może się zatrzymać czasem w położeniu pośrednim, a żarówka może się przepalić, więc model nie jest adekwatny. Filozof doda, że gdy żarówka nie świeci się, to nie wiadomo, czy jest żarówką. Ponadto nie można mówić o modelu, gdy nie zdefinowało się systemu.
Matematyk uśmiechnie się do filozofa, a pedantowi powie, że na wszystko jest swój czas, że następny model być może zadowoli pedanta w większym stopniu. Matematyk, gdy jeszcze znajduje się na etapie przedmatematycznym, pracuje jako naukowiec i artysta. W momencie, gdy zdecyduje się na model, to zaczyna pracować jako matematyk w sensie właściwym, a model żyje już własnym, matematycznym życiem, niezależnym od zastosowania. Nastąpiła abstrakcja, która po części polega na uproszczeniu. Na etapie artystycznym, kiedy nie ma żadnych żelaznych reguł, artysta-naukowiec-matematyk stara się uchwycić z rzeczywistości to, co na danym etapie jest najistotniejsze, a z większym lub mniejszym wyczuciem odrzuca elementy nieistotne lub mało istotne.
Konstrukcja matematyczna jest matematycznym sukcesem, gdy prowadzi do ciekawej matematyki. Może też być sukcesem naukowym lub technologicznym, gdy dobrze oddaje istotę problemu z zastosowań, między innymi poprzez trafne wprowadzenie uproszczeń. Z reguły konstrukcja matematyczna, która jest sukcesem naukowym lub technologicznym, jest także głeboka matematycznie.
Konstrukcje matematyczne bywają motywowane przez samą matematykę, a inne przez zastosowania (zresztą są one w wielkiej mierze przemieszane). Gdy konstrukcja matematyczna służy za model zjawiska rzeczywistego (lub nawet kilku!), to albo jest udana, albno nie, a matematyk (jako matematyk) już nie zwraca uwagi ani na pedanta, ani na filozofa.
Zaletą abstrakcji jest między innymi to, że jedna i ta sama konstrukcja matematyczna może służyć za model więcej nić jednemu zjawisku, a czasem nawet zjawiskom na oko odległym pod każdym zdawałoby się względem.
Abstrakcja ma miejsce także wewnątrz matematyki, kiedy to relatywnie prosta konstrukcja matematyczna może służyć za model jednej lub więcej konstrukcji bardziej złożonych, być może pochodzących z odległych działów matematyki.
[edytuj] Funkcje boole'owskie jako model
O systemie n pstryczków, kontrolujących świecenie żarówki mówimy, że pstryczki są na wejściach systemu (lub po prostu, że są wejściami), a o żarówce, że jest na wyjściu (lub wyjściem).
System z pstryczków i żarówki mógłby zamiast żarówki mieć dzwonek. Albo mógłby mieć na wyjściu i żarówkę i przycisk, kontrolowany jak żarówka. Podobnie n pstryczków na wejściu mogłoby być opatrzonych żaróweczkami ilustrującymi pozycję pstryczka. Kontrolowanie żarówki na wyjściu może odbywać się poprzez przewody (druty :-) lub za pomocą sygnałów radiowych. Wszystkie takie systemy mogą być modelowane przez te same funkcje boole'owskie. Mogą one modelować przepływ elektryczności albo płynu w rurach z zastawkami, albo przepływ prawdy, gdy na wejściach mamy zdania logiczne przyjmujące wartość 0 (fałsz) lub prawdę (1), a na wyjściu zdanie, które zależy od wejściowych. Podobnie można modelować podejmowanie decyzji (typu tak/nie), kiedy to n decyzji na wejściach wywołuje jednoznacznie decyzję na wyjściu &przykładem służy głosowanie nad wotum nieufności, kiefy to z każdym wejściem związany jest poseł parlamentu.
Istotnym jest tylko to, że system ma n wejść, przyjmujących wartość 0 lub 1, oraz jedno wyjście, też przyjmujące wartość 0 lub 1. Teraz zasada abstrakcji mówi nam, że skoro wejścia i wyjścia przyjmują w naszym systemie te same wartości 0 oraz 1, to można wyjście systemu potraktować jako wejście do innych systemów, co pozwala budować złożone systemy z prostych. Wtedy wyjscia szeregu podsystemów mogą służyć za wejścia innych podsystemów. Więcej o tym poniżej.
