Wikipedysta:Wlod/Podzielność, złożoność, pierwszość.

Z Wikipedii

Spis treści

1 Monoidy przemienne
2 Pierścienie przemienne
3 Pierścień liczb całkowitych

[edytuj] Monoidy przemienne

W tym fragmencie M := (M · 1) jest monoidem przemiennym. Przez elementy monoidu M rozumiemy po prostu elementy zbioru M.

Czasem, zamiast notacji multiplikatywnej, jak przed chwilą, stosuje się notację addytywną M := (M + 0)

[edytuj] Podzielność

Jeżeli a b c ∈ M, oraz a·b = c, to elementy a b nazywamy dzielnikami elementu c, mówimy że c dzieli się przez a oraz b, oraz piszemy a|c oraz b|c.

Każdy element dzieli się przez 1 i przez siebie.

Relacja podzielności jest praporządkiem. Monoid ma dobrą podzielność, gdy praporządek jest dobry, co znaczy, że każdy niepusty podzbiór A zbioru M ma element minimalny, czyli takie a ∈ A, że dla każdego b ∈ A jeżeli b | a, to zachodzi także a | b.

[edytuj] Jedności (elementy odwracalne)

Element u ∈ M nazywamy jednością (albo elementem odwracalnym), gdy istnieje v ∈ M takie, że u·v = 1. Wszystkie inne elementy monoidu M nazywamy nieodwracalnymi.

W języku praporządków, zbiór jedności U(M) jest zbiorem elementów najmniejszych całego M. Co więcej, dwa elementy a b ∈ M są równoważne w sensie praporządku <=:=> istnieje u ∈ U(M) takie, że b = a·u.

Zatem jedynka u := 1 jest jednością (dla v := 1 mamy u·v = 1·1 = 1).

Jedności stanowią podgrupę multiplikatywną U(M) monoidu M. Zachodzi też własność:

Następujące własności u ∈ M są równoważne:

u ∈ U(M);
u | 1;
u | x dla każdego x ∈ M;
jeżeli x | u, to x ∈ U(M), dla każdego x ∈ M.

[edytuj] Elementy złożone i nierozkładalne

Jeżeli a·b = c, gdzie elementy a b ∈ M są nieodwracalne, to c nazywamy elementem złożonym. W przeciwnym wypadku, gdy c nie dopuszcza takiego rozkładu na iloczyn, to c nazywamy elementem nierozkładalnym.

Elementy nierozkładalne, to po prostu elementy minimalne (względem praporządku podzielności) w zbiorze niejedności M \ U(M).

Przykład Niech M będzie rodziną wszystkich skończonych zbiorów liczb całkowitych oraz całym zbiorem $\mathbb{Z}$ . Za mnożenie przyjmijmy operację przecięcia zbiorów $\cap$ , tak że całe $\mathbb{Z}$ służy za jedynkę monoidu

M := $(M, \ \cap, \ \mathbb{Z})$

W tak zdefiniowanym monoidzie nie ma elementów nierozkładalnych. (Zatem żaden element nie jest skończonym iloczynem elementów nierozkładalnych, za wyjątkiem "jedynki" $\mathbb{Z}$ , która jest iloczynem zera elementów nierozkładalnych).

[edytuj] Elementy pierwsze

Element p ∈ M nazywamy pierwszym, gdy jest nieodwracalny (p ∈ M \ U(M)), oraz ma własność:

dla dowolnych a b ∈ M, jeżeli p jest dzielnikiem iloczynu a·b, to jest dzielnikiem a lub b.

Twierdzenie Niech M będzie monoidem. Wtedy każdy element pierwszy, przez który można skracać, jest nierozkładalny.

Dowód Niech p = x·y będzie pierwsze i dopuszczające skracanie. Wtedy p|x lub p|y. Powiedzmy, że x = p*w dla pewnego w ∈ M. Wtedy p = p·w·y, skąd w·y = 1 (skracanie), czyli y jest jednością. Zatem p nie jest iloczynem dwóch elementów nieodwracalnych. Pokazaliśmy, że p jest nierozkładalne. Koniec dowodu

Uwaga Niestety często w literaturze elementy nierozkładalne nazywane są pierwszymi, zwłaszcza w przypadku pierścienia liczb całkowitych (t.j. jego monoidu multuiplikatywnego), dla których te dwa pojęcia są niemal równoważne – jedynym wyjątkiem jest 0, które jest pierwsze i rozkładalne. W przypadku monoidu multiplikatywnego liczb naturalnych (i nie traktując zera jako liczby naturalnej) pojęcia liczby pierwszej i nierozkładalnej są równoważne (Euklides).

[edytuj] Przykłady

Monoid addytywny $\mathbb{Z}^+$ , którego elementami są liczby całkowite, nieujemne, ma tylko jedną "jedność" (element odwracalny), mianowicie 0. Jest to monoid ze skracaniem. Podzielność a|b jest równoważna w nim relacji a ≤ b. Jego jedynym elementem nierozkładalnym jest 1, które jest nawet elementem pierwszym. Każdy element rozkłada się na skończoną sumę elementów pierwszych, i to na jeden sposób. Na przykład

5 = 1+1+1+1+1

Monoid addytywny wszystkich liczb całkowitych, nieujemnych, z pominięciem 1, ma tylko jedną "jedność", mianowicie 0. Jest to monoid ze skracaniem. Relacja a ≤ b jest warunkiem koniecznym, ale nie dostatecznym, podzielności a|b. Jedynymi elementami nierozkladalnymi są 2 oraz 3. Nie są one pierwsze, gdyż 2 jest "dzielnikiem" 3+3, ale n nie jest "dzielnikiem" liczby 3 (rozkład 3 = 1+2 jest nielegalny). Podobnie 3 jest "dzielnikiem" 2+4, ale nie jest dzielnikiem ani 2 ani 4. Przy okazji widać, że 6 rozkłada się na więcej niż jeden sposób na czynniki nierozkładalne:

6 = 2+2+2 = 3+3

Pierwszy przykład w tymże dydaktycznym duchu, choć nie ten, podał Dawid Hilbert.

[edytuj] Jednoznaczność rozkładu na iloczyn elementów pierwszych

Istnienie rozkładu elementów, powiedzmy wszystkich (w danym monoidzie), na czynniki pierwsze jest trudnym problemem w przypadku monoidów multiplikatywnych pierścieni liczb całkowitych ciał liczb algebraicznych, i różnie z tym istnieniem rozkładów bywa. Natomiast jednoznaczność jest jasna:

Twierdzenie Niech wszystkie czynniki w równości:

p ₁ · ... · p _k = q ₁ · ... · q _n

będą pierwsze. Wtedy k = n, oraz istnieje permutacja π liczb 1 ... n, wraz z jednościami u ₁ ... u _n takimi, że:

q _j = u _j · p _π(j)

dla j = 1 ... n.

Przykład z poprzedniego fragmentu, monoidu addytywnego liczb całkowitych, nieujemnych, z pominiętą liczbą 1, pokazał, że istnienie rozkładu na "czynniki" (składniki – w języku addytywnym) nierozkładalne każdego elementu monoidu nie gwarantuje istnienia rozkładu na "czynniki" (tu: składniki) proste.

[edytuj] Pierścienie przemienne

Niech R := (R + Neg 0 · 1) oznacza pierścień przemienny z 1. Wtedy

M(R) := (R · 1)

jest monoidem przemiennym. Pojęcia: podzielności, dzielnika, jedności, elementu złożonego, nierozkładalnego i pierwszego dla pierścienia R definiuje się jako te same pojecia dla monoidu M(R).

Tak więc następujące własności pierścienia R są równoważne:

R jest dziedziną całkowitości;
0 jest elementem pierwszym;
(0) jest ideałem pierwszym.

[edytuj] Pierścień liczb całkowitych $\mathbb{Z}$

W pierścieniu liczb całkowitych $\mathbb{Z}$ dwie liczby są (multiplikatywnie) odwracalne: 1 i -1, i żadna inna. Wszystkie inne są nieodwracalne.

Amazon - Audible - Barnes and Noble - Everand - Kobo - Storytel

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.