Wzór całkowy Cauchy'ego

Z Wikipedii

Wzór całkowy Cauchy'ego istotny wzór analizy zespolonej. Wyraża fakt, że funkcja holomorficzna zdefiniowana na dysku jest całkowicie zdeterminowana przez wartości, które przyjmuje na brzegu tego dysku.

Załóżmy, że U jest zbiorem otwartym należącym do dziedziny zespolonej C oraz f : U → C jest funkcją holomorficzną, a dysk D = { z : | z − z₀| ≤ r} zawiera U. Niech C będzie kołem, które całkowicie zawiera D. Wówczas dla każdego a zawartego w D:

$f(a) = {1 \over 2\pi i} \oint\limits_C {f(z) \over z-a}\, dz$

gdzie krzywa C jest zorientowana dodatnio względem swego wnętrza (obiega je w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).

[edytuj] Przykład użycia

Rozważmy funkcję

$f(z)={z^2 \over z^2+2z+2}$

oraz kontur C, opisany zależnością: |z|=2.

Aby znaleźć całkę f(z) po konturze, poszukujemy punktów osobliwych funkcji f(z). Funkcję f możemy zapisać:

$f(z)={z^2 \over (z-z_1)(z-z_2)}$ gdzie $\ z_1=-1+i, \quad z_2=-1-i.$

Otrzymane punkty mają moduł mniejszy niż 2 wobec czego leżą wewnątrz konturu i muszą zostać rozpatrzone. Korzystając z Lematu Cauchy'ego - Goursat'a możemy wyrazić całkę po konturze jako sumę całek wokół punktów z₁ i z₂ gdzie jako kontur przyjmujemy dowolnie małe otoczenie obu punktów. Nazwijmy te kontury C₁ wokół z₁ oraz C₂ wokół z₂.

Zatem w C₁, f jest analityczna (dopóki kontur nie zawiera innych punktów osobliwych), a to pozwala nam zapisać f w postaci:

$f(z)={z^2 \over z-z_2}$

dlatego:

$\oint\limits_{C_1} {\left({z^2 \over z-z_2}\right) \over z-z_1}\,dz=2\pi i{z_1^2 \over z_1-z_2}.$

Dla drugiego konturu postępujemy analogicznie:

$f(z)={z^2 \over z-z_1}$

$\oint\limits_{C_2} {\left({z^2 \over z-z_1}\right) \over z-z_2}\,dz=2\pi i{z_2^2 \over z_2-z_1}.$

Całka po obszarze C jest sumą dwóch powyższych całek:

$\oint\limits_C {z^2 \over z^2+2z+2}\,dz$	$= \oint\limits_{C_1} {\left({z^2 \over z-z_2}\right) \over z-z_1}\,dz + \oint\limits_{C_2} {\left({z^2 \over z-z_1}\right) \over z-z_2}\,dz$
	$= 2\pi i\left({z_1^2 \over z_1-z_2}+{z_2^2 \over z_2-z_1}\right)$
	$=2\pi i(-2)\,$
	$=-4\pi i\,.$