Zbiór nigdziegęsty

Z Wikipedii

W topologii zbiór $A$ przestrzeni $(X,τ)$ nazywamy zbiorem nigdziegęstym wtedy i tylko wtedy, gdy wnętrze domknięcia tego zbioru jest puste:

$\operatorname{int}\;\operatorname{cl}\;A = \emptyset$ .

Inaczej mówiąc zbiór ten nie jest gęsty w żadnym otwartym podzbiorze przestrzeni $X$ .

Spis treści

1 Lemat
2 Własności
3 Przykłady
4 Uogólnienia
- 4.1 s₀-zbiory
- 4.2 Zbiory -nigdziegęste
5 Zobacz też

[edytuj] Lemat

Zbiór $A\subseteq X$ jest nigdziegęsty w $X$ wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego niepustego zbioru otwartego $U\in \tau$ można znaleźć niepusty zbiór otwarty $V\in \tau$ taki, że $V\subseteq U\setminus A$ .

[edytuj] Własności

Rodzina $NWD(X)$ wszystkich nigdziegęstych podzbiorów $X$ tworzy właściwy ideał podzbiorów $X$ , tzn

jeśli $A,B\in {\rm NWD}(X)$ , to $A\cup B\in {\rm NWD}(X)$ , oraz

jeśli $A\in {\rm NWD}(X)$ i $B\subseteq A$ , to $B\in {\rm NWD}(X)$ , oraz

$X\notin {\rm NWD}(X)$ .

Przeliczalna suma zbiorów nigdziegęstych nie musi być nigdziegęsta: liczby wymierne są przeliczalną sumą jednoelementowych nigdziegęstych podzbiorów prostej rzeczywistej, a tworzą one gęsty podzbiór prostej.
Jeśli $A\subseteq Y\subseteq X$ i $A$ jest nigdziegęsty w $Y$ (tzn $A\in {\rm NWD}(Y)$ gdy $Y$ jest wyposażone w topologię podprzestrzeni), to $A\in {\rm NWD}(X)$ .
Załóżmy, że $A\subseteq Y\subseteq X$ oraz albo $Y$ jest gęstym podzbiorem $X$ lub $Y$ jest otwarty w $X$ . Wówczas $A\in {\rm NWD}(X)$ wtedy i tylko wtedy gdy $A\in {\rm NWD}(Y)$ .

[edytuj] Przykłady

Każdy skończony podzbiór prostej jest nigdziegęsty.
Klasyczny zbiór Cantora jest nigdziegęstym podzbiorem prostej rzeczywistej. Każdy podzbiór prostej który jest homeomorficzny ze zbiorem Cantora jest nigdziegęsty (w ${\mathbb R}$ ).
Istnieją nigdziegęste domknięte podzbiory ${\mathbb R}$ które mają dodatnią miarę Lebesgue'a, np zbiór Cantora otrzymany przez wyrzucanie na kroku $n$ odcinków długości $5 - n$ .

[edytuj] Uogólnienia

[edytuj] $s 0$ -zbiory

Motywowany przez charakteryzację podaną w lemacie, polski matematyk Edward Marczewski wprowadził w 1935 pojęcie $(s 0)$ -zbiorów.

Powiemy, że podzbiór $A$ prostej rzeczywistej $\mathbb R$ jest $(s 0)$ -zbiorem Marczewskiego, jeśli dla każdego doskonałego zbioru $P \subseteq \mathbb R$ można znaleźć jego doskonały podzbiór rozłączny z $A$ .

Zbiory $(s 0)$ tworzą $σ$ -ideał podzbiorów $\mathbb R$ .

[edytuj] Zbiory $\mathcal A$ -nigdziegęste

W drugiej połowie XX w. wprowadzono wspólne uogólnienie pojęcia zbiorów $(s 0)$ i zbiorów nigdziegęstych. Schemat tego uogólnienia może być przedstawiony w sposób następujący.

Niech $\mathcal A$ będzie pewną rodziną niepustych podzbiorów przestrzeni $X$ . Powiemy, że zbiór $A\subseteq X$ jest $\mathcal A$ -nigdziegęsty jeśli każdy element $U\in {\mathcal A}$ zawiera podzbiór $V\in {\mathcal A}$ rozłączny z $A$ .

Jeśli ${\mathcal A}$ jest rodziną niepustych otwartych podzbiorów $X$ , to powyższa definicja określa nigdziegęste podzbiory $X$ . Jeżeli $\mathcal A$ jest rodziną zbiorów doskonałych, zaś $X=\mathbb R$ , to otrzymujemy z kolei $(s 0)$ -zbiory Marczewskiego.

W literaturze matematycznej można spotkać też inne przykłady rodzin ${\mathcal A}$ używanych w tym kontekście, niektóre z tych rodzin są związane z forsingami drzewiastymi.

[edytuj] Zobacz też

Kategoria: Topologia

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Zbiór nigdziegęsty

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Lemat

[edytuj] Własności

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Uogólnienia

[edytuj] $s 0$ -zbiory

[edytuj] Zbiory $\mathcal A$ -nigdziegęste

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Zbiór nigdziegęsty

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Lemat

[edytuj] Własności

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Uogólnienia

[edytuj] s0-zbiory

[edytuj] Zbiory -nigdziegęste

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach

[edytuj] $s 0$ -zbiory

[edytuj] Zbiory $\mathcal A$ -nigdziegęste