Logaritmo natural

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O gráfico do logaritmo natural.

O logaritmo natural é o logaritmo de base e, onde e é um número irracional aproximadamente igual a 2,71828... (chamado Número de Euler). É, portanto, a função inversa da função exponencial.

O logaritmo natural é definido para todos os números reais estritamente positivos x, e admite uma extensão como uma função complexa analítica em $\mathbf{C}\backslash \{0\}$

Em termos simples, o logaritmo natural é uma função que é o expoente de uma potência de e, e aparece freqüentemente nos processos naturais (o que explica o nome "logaritmo natural"). Esta função torna possível o estudo de fenômenos que evoluem de maneira exponencial.

Ele não pode ser confundido com o chamado de logaritmo neperiano, do nome de seu « inventor », o matemático escocês John Napier (ou John Naper). O logarítmo neperiano utiliza uma base 1/e, ao invés do logaritmo natural, que utiliza a base e.

[editar] Origem

Em uma época passada, antes do invento das calculadoras eletrônicas, fazer contas de multiplicar era muito difícil (quem aprendeu a regra deve se lembrar com horror dos exercícios tipo multiplicar 77323 por 48229), porém fazer contas de somar era mais simples.

Observando-se (ver exponenciação) que $a^{(x + y)} = a^x \ a^y$ , se houvesse uma tabela que transformasse cada número u no expoente x, sendo $u = a x$ , multiplicar u por v poderia ser feito através de uma soma:

$u = a^x, v = a^y, u\ v = a^{(x + y)}$

O problema então é construir essa tábua de logaritmos.

Uma das soluções encontradas foi baseada na observação de que, se x for um número pequeno:

$a^x \approx 1 + k x\,$

sendo a constante k dependente apenas de a mas não de x.

Por exemplo, para a = 2, $k \approx 0.7$ e para a = 10, $k \approx 2.3$ .

A relação entre a e k é precisamente o logaritmo natural, e se escolhermos a = e, temos que k = 1, o que simplifica a montagem das tábuas de logaritmos.

[editar] Uma definição precisa em $\mathbf{R}$

Uma maneira de definir o logaritmo natural $ln(x):\mathbf{R}^{+}\to\mathbf{R}$ é através da integral:

$\ln(x):=\int_{1}^{x}\frac{dt}{t}$

Para mostrar que esta definição de fato conduz a uma função logaritmica, devemos estabelecer:

$ln(1) = 0$
$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b), \forall a,b>0$
$ln(x)$ é uma função contínua.

A dificuldade reside apenas em mostrar a segunda propriedade, então vejamos:

$\ln(ab)=\int_{1}^{ab}\frac{dt}{t}=\int_{1}^{a}\frac{dt}{t}+\int_{a}^{ab}\frac{dt}{t}\,$

A primeira parcela desta soma é $\ln(a)\,$ , e segunda parcela pode ser resolvida pela substituição $u=bt\,$ , portanto:

$\ln(ab)=\ln(a)+\int_{1}^{b}\frac{du}{u}\,$

segue que $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\,$

Sabemos então que $ln(x) = l o g b (x)$ para alguma base $b$ a ser determinada.

Da simples definição temos:

$\frac{d}{dt}\ln(x)=\frac{1}{x}$

Seja $b x$ a função inversa de $ln(x)$ , então, usando a fórmula $\frac{d}{dx}f^{-1}(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ , obtemos:

$\frac{d}{dx}b^x=b^x$

Portanto $b = e$ , onde $e$ é o número de Euler.

[editar] Convenções de notação

Os matemáticos geralmente utilizam as notações "ln(x)" ou "log(x)" para significar log_e(x), i.e., o logaritmo natural de x, e escrevem "log₁₀(x)" para o logaritmo de base 10 de x. Engenheiros, biólogos, economistas e outros escrevem somente "ln(x)" ou (ocasionalmente) "log_e(x)" quando querem indicar o logaritmo natural de x, e "log(x)" para log₁₀(x) e, em Computação, log(x) para log₁₀(x) e lg(x) para log₂(x). Algumas vezes Log(x) (L maiúsculo) é usado para log₁₀(x) por pessoas que usam log(x) com um l minúsculo para log_e(x).

[editar] Função logarítmica complexa

Definimos a função logarítmica natural de uma variável complexa z pela equação

$\ln z\,\!$ = $\ln r\,\!$ + $i\,\!$ ( $\theta\,\!$ ± $2k\pi\,\!$ )

onde $r\,\!$ é o módulo e $\theta\,\!$ é o argumento medido em radianos do número complexo $z\,\!$ ; $k = (1, 2, 3,...)\,\!$ e $\ln r\,\!$ define o logaritmo natural real positivo de $r\,\!$ .

Assim, a função $\ln z\,\!$ é multivalente com infinitos valores - mesmo para números reais.
Chamamos de valor principal de $\ln z\,\!$ o número definido por

$\ln z = \ln r\,\!$ + $i\,\!$ $\theta\,\!$

[editar] Derivada da função logarítmica

Dada a função $f (x) = l n x$ , e sua derivada é $f'(x) = \frac{1}{x}$ .

[editar] Integral da função logarítmica

$\int \ln (x) \,dx = x \ln (x) - x + C.$

Esta integral pode ser obtida pela aplicação da integração por partes, ou seja $\int \ln (x) dx = \int (x)' \ln(x) dx = x \ln(x) - \int x (\ln(x))' dx\,$ .