Corpo algebricamente fechado

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Em Matemática, um corpo $F$ diz-se algebricamente fechado se qualquer polinómio de uma variável e grau maior ou igual a $1$ , com coeficientes em $F$ , tiver alguma raiz em $F$ .

Por exemplo, o corpo dos números reais não é algebricamente fechado, pois a equação polinomial

3 x 2 + 1 = 0

não tem soluções reais, apesar de os seus coeficientes ( $3$ e $1$ ) serem reais. O mesmo argumento mostra que o corpo dos números racionais não é algebricamente fechado. Nenhum corpo finito $F$ é algebricamente fechado, pois se $a 1$ , $a 2$ , …, $a n$ forem os elementos de $F$ , o polinómio

(x - a 1)(x - a 2)

···

(x - a n) + 1

não tem nenhuma raiz em $F$ . Em contrapartida, o corpo dos números complexos é algebricamente fechado; é isto que afirma o teorema fundamental da álgebra. Outro exemplo de corpo algebricamente fechado é o corpo dos números algébricos.

Dado um corpo $F$ , a afirmação « $F$ é algebricamente fechado» é equivalente a cada uma das seguintes:

Qualquer polinómio $p (x)$ de grau $n$ ≥ $1$ , com coeficients em $F$ ,é produto de polinómios de primeiro grau. Posto de outro modo, há elementos $k$ , $x 1$ , $x 2$ , …, $x n$ de $F$ tais que

p (x) = k (x - x 1)(x - x 2)

···

(x - x n)

O corpo $F$ não tem nenhuma extensão algébrica própria.

Para cada número natural $n$ , qualquer aplicação linear de $F n$ em si próprio tem algum vector próprio.

Qualquer função racional de uma variável $x$ , com coeficientes em $F$ pode ser escrita como soma de uma função polinomial com funções racionais da forma $a / (x + b) n$ , sendo $n$ um número natural e $a$ e $b$ pertencem a $F$ .

Se $F$ for um corpo algebricamente fechado, se $a$ for um elemento de $F$ e se $n$ for um número natural, então $a$ tem alguma raiz de ordem $n$ em $F$ , pois isto é o mesmo que afirmar que a equação $x n - a = 0$ tem alguma raiz em $F$ . No entanto, há corpos nos quais qualquer elemento tem alguma raiz de ordem $n$ (para cada número natural $n$ ) mas que não são algebricamente fechados. De facto, nem mesmo supor que qualquer polinómio do tipo $x n - a$ se pode escrever como produto de polinómios de primeiro grau é suficiente para garantir que o corpo é algebricamente fechado.

Como conseqüência do axioma da escolha, qualquer corpo $F$ tem um fecho algébrico, que é o menor corpo algebricamente fechado do qual $F$ é um subcorpo.