Matriz identidade

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$I_3=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\,\!$

Modelo de uma matriz identidade

Matriz identidade, em matemática, é uma matriz quadrada e uma matriz diagonal, cuja função é de ser o elemento neutro, na multiplicação de matrizes. É denotada por I_n (onde n é a ordem da matriz), ou simplesmente por I. A matriz é construída da seguinte forma: os elementos da diagonal principal têm valor um, e os demais elementos da matriz são zero.

Para qualquer matriz A, as seguintes igualdades são válidas:

$A_{m,n} \cdot I_n = A_{m,n}\,\!$

$I_m \cdot A_{m,n} = A_{m,n}\,\!$

Uma matriz identidade se apresenta da seguinte forma:

$I_n=\begin{bmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{bmatrix}\,\!$

[editar] Definição

Uma matriz identidade I é definida por:

$I_n = {\left( i_{x,y} \right)}_n$

$i_{x,y}= \left\{ {\begin{matrix} {1}&{,se\ x = y} \\ {0}&{,se\ x \ne y} \end{matrix}} \right.\,\!$

[editar] Notações alternativas

Existem outras notações alternativas para se representar uma matriz identidade. São elas:

A notação de matrizes diagonais: $I_n = diag\left( 1 ; 1 ; 1 ; ... ; 1\right)\,\!$
A notação do Delta de Kronecker: $I_n = {\left(\delta_{x,y}\right)}_n\,\!$

[editar] Matriz inversa

Ver artigo principal: Matriz inversa.

O conceito de matriz identidade é relacionado ao conceito de matriz inversa. Uma matriz multiplicada pela sua inversa é igual à matriz identidade.

$A \cdot A^{-1} = I\,\!$

A matriz inversa de uma matriz identidade é a própria matriz identidade, ou seja:

$I = I^{-1}\,\!$

[editar] Matriz transposta

Ver artigo principal: Matriz transposta.

A matriz transposta da matriz identidade é a própria matriz identidade.

$I = I^{t} \,\!$

[editar] Matriz identidade refletida

Multiplicando-se uma matriz qualquer pela matriz identidade refletida há a reflexão horizontal ou vertical da matriz. A matriz identidade refletida possui todos os elementos iguais a zero, exceto os da diagonal secundária, que são iguais a 1.

Considerando-se uma matriz A:

$A_{x,y}=\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,y}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,y}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{x,1} & a_{x,2} & \cdots & a_{x,y}\\ \end{bmatrix}$

Quando a matriz A é multiplicada pela matriz identidade refletida (com A à esquerda), há reflexão horizontal da matriz A:

$A_{x,y} \cdot R_y =\begin{bmatrix} a_{1,y} & a_{1,y-1} & \cdots & a_{1,1}\\ a_{2,y} & a_{2,y-1} & \cdots & a_{2,1}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{x,y} & a_{x,y-1} & \cdots & a_{x,1}\\ \end{bmatrix}$

Quando a matriz identidade refletida é multiplicada pela matriz A (com A à direita), há reflexão vertical da matriz A:

$R_x \cdot A_{x,y}=\begin{bmatrix} a_{x,1} & a_{x,2} & \cdots & a_{x,y}\\ a_{x-1,1} & a_{x-1,2} & \cdots & a_{x-1,y}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,y}\\ \end{bmatrix}$