Par ordenado
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Um par ordenado é uma coleção de dois elementos tal que um dos elementos pode ser distingüido como o primeiro e o outro como o segundo. Um par ordenado com primeiro elemento a e segundo b é usualmente escrito como (a, b). Dois pares ordenados (a1, b1) e (a2, b2) são iguais se e somente se a1 = a2 e b1 = b2 simultaneamente.
O conjunto de todos os pares ordenados nos quais o primeiro elemento vem do conjunto X e o segundo do conjunto Y é chamado de Produto cartesiano de X e Y.
Trios ordenados e listas ordenadas são definidos recursivamente a partir da definição de par ordenado: um trio ordenado (a,b,c) pode ser definido como (a , (b,c) ). Esta abordagem é espelhada em liguagens de programação: É possível representar uma lista de elementos como uma construção de pares ordenados aninhados. Por exemplo, a lista (1 2 3 4 5) torna-se (1, (2, (3, (4, (5, {}))))). A linguagem de programação Lisp usa estas listas como sua estrutura de dados primária.
Na Teoria dos conjuntos pura, onde existem somente conjuntos, pares ordenados (a, b) podem ser definidos como o conjunto { {a}, {a, b} }. A afirmação de que x seja o primeiro elemento de um par ordenado p pode então ser formulada como
- ∀ Y ∈ p : x ∈Y
e que x seja o segundo elemento de p como
- (∃ Y ∈ p : x ∈ Y) ∧ (∀ Y1 ∈ p, ∀ Y2 ∈ p : Y1 ≠ Y2 → (x ∉ Y1 ∨ x ∉ Y2)).
Note que essa definição ainda é válida para o par ordenado p = (x,x) = { {x}, {x,x} } = { {x}, {x} } = { {x} }; neste caso a declaração (∀ Y1 ∈ p, ∀ Y2 ∈ p : Y1 ≠ Y2 → (x ∉ Y1 ∨ x ∉ Y2)) é trivialmente verdadeira, desde que nunca acontece de que Y1 ≠ Y2.
Na formulação usual ZF da teoria dos conjuntos incluindo o axioma da regularidade, um par ordenado (a, b) pode também ser definido como o conjunto {a, {a, b}}. Entretanto, o axioma da regularidade é necessário, desde que sem ele, é possível considerar conjuntos x e z tais que x = {z}, z = {x}, e x ≠ z. Então nós temos que
- (x, x) = {x, {x, x}} = {x,{x}} = {x, z} = {z, x} = {z, {z}} = {z, {z, z}} = (z, z)
embora queiramos (x,x) ≠ (z,z).
