Алгебраическая функция
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Алгебраическая функция — функция, которая в окрестности каждой точки области определения может быть задана неявно с помощью алгебраического уравнения.
Более точное определение:
Функция называется алгебраической в точке
, если существует окрестность точки
, в которой верно тождество
где есть многочлен от n + 1 переменной.
Функция называется алгебраической, если она является алгебраической в каждой точке области определения.
Например, функция действительного переменного является алгебраической на интервале ( − 1,1) в поле действительных чисел, так как она удовлетворяет уравнению
Существует аналитическое продолжение функции на комплексную плоскость, с вырезанным отрезком [ − 1,1] или с двумя вырезанными лучами
и
. В этой области полученная функция компл'ексного переменного является алгебраической и аналитической.
Известно, что если функция является алгебраической в точке, то она является и аналитической в данной точке. Обратное неверно. Функции, являющиеся аналитическими, но не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными.
[править] Алгебраические уравнения
Уравнение вида
где P и Q многочлены с коэфициентами из поля рациональных чисел, называется алгебраическим уравнением.
[править] Алгебраические и трансцендентные числа
Действительные числа, которые являются корнем какого-то алгебраического уравнения, называются алгебраическими. Действительные числа, которые не являются корнем никакого алгебраического уравнения, называются трансцендентными.
Все рациональные числа являются алгебраическими. Среди иррациональных чисел есть как алгебраические, так и трансцендентные. Например, — алгебраическое иррациональное число, а
— трансцендентное иррациональное число.