Биекция

Биективная функция.

Функция $f: X \to Y$ называется биекцией (и обозначается $f: X\leftrightarrow Y$ ), если она:

Переводит разные элементы множества X в разные элементы множества Y (инъективность).
Любой элемент из $Y\!$ имеет свой прообраз (сюръективность). Иными словами, $\forall y\in Y \exists x \in X:\ f(x)=y$ .

Биекцию также называют взаимно однозначным отображением. Множества, для которых существует биекция, называются равномощными.

Содержание

$id: X \rightarrow X$ — функция, сохраняющая все элементы множества $X$ , биективна на этом множестве.
$f(x)=x,\ f(x)=x^3$ — биективные функции из $\mathbb{R}$ в себя. Вообще, любой моном одной переменной нечетной степени является биекцией.
$f(x)=e^x\!$ — биективная функция $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}_+=(0,\infty)$ . Но если её рассматривать как функцию в $\mathbb{R}$ , то она уже не будет биективной (у отрицательных чисел не будет прообразов).
$f(x)=\sin x\!$ не является биективной функцией, если считать её определённой на всём $\mathbb R$ .

Композиция инъекции и сюръекции, дающая биекцию.

Функция $f: X\to Y$ является биективной тогда и только тогда, когда существует обратная функция $f^{-1}: Y\to X$ такая, что $\forall x\in X\;f^{-1}(f(x))=x$ и $\forall y\in Y\;f(f^{-1}(y))=y$ .
Если функции $f$ и $g$ биективны, то и композиция функций $g\circ f$ биективна, в этом случае $(g\circ f)^{-1} = f^{-1}\circ g^{-1}$ . Коротко: композиция биекций является биекцией. Обратное, вообще говоря, неверно: если $g\circ f$ биективна, то мы можем утверждать лишь, что $f$ инъективна, а $g$ сюръективна.